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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 26.06.2011 | | Autor: | Elisa12 |
| Aufgabe | (i) Weisen Sie anhand der Definition der Konvergenz nach, dass die Folge
[mm] (2/n+(0,23)^n [/mm] konvergent ist mit Grenzwert 0 (also „gegen 0 geht“).
(ii) Weisen Sie die Konvergenz der Folge durch Anwendung von Konvergenzsätzen nach. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Definition der Konvergenz ist mir einigermaßen klar, somit auch der eigentliche Vorgang.
Schwierigkeiten bereitet mir zum einen das n im Exponenten und das die Folge gegen 0 läuft.
Bei Aufgabe ii) ist mir nicht klar, welchen Satz ich hier nutzen kann...
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Hallo Elisa12 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> (i) Weisen Sie anhand der Definition der Konvergenz nach,
> dass die Folge
> [mm](2/n+(0,23)^n[/mm] konvergent ist mit Grenzwert 0 (also
> „gegen 0 geht“).
> (ii) Weisen Sie die Konvergenz der Folge durch Anwendung
> von Konvergenzsätzen nach.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Die Definition der Konvergenz ist mir einigermaßen klar,
> somit auch der eigentliche Vorgang.
> Schwierigkeiten bereitet mir zum einen das n im Exponenten
> und das die Folge gegen 0 läuft.
> Bei Aufgabe ii) ist mir nicht klar, welchen Satz ich hier
> nutzen kann...
Na, dabei ist doch i) eher schwieriger ...
ii) du weißt, dass
(1) [mm]\frac{1}{n}\longrightarrow 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] und
(2) [mm]q^n\longrightarrow 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], falls [mm]|q|<1[/mm]
Die Summe zweier konvergenter Folgen mit Grenzwerten [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] ist wieder konvergent mit GW [mm]a+b[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Elisa12 |
danke für die Antwort!
i) ist wie ich feststellen musste doch nicht so klar wie gedacht...hättest du hierzu vllt auch noch ein paar hilfreiche tipps?!
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Hallo nochmal,
> danke für die Antwort!
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> i) ist wie ich feststellen musste doch nicht so klar wie
> gedacht...hättest du hierzu vllt auch noch ein paar
> hilfreiche tipps?!
Naja, so richtig schwierig ist das nun auch nicht.
Was hast du denn versucht?
Du gibst dir ein bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und musst ein [mm]N\in\IN[/mm] konstruieren, so dass für alle [mm]n\ge N[/mm] gilt: [mm]\left|\frac{2}{n}+0,23^n-0\right|<\varepsilon[/mm] ist.
Dazu schätze diesen Betrag [mm] $\left|\frac{2}{n}
0,23^n\right|$ [/mm] ab.
Beide Summanden sind positiv, also kannst du die Betragstriche weglassen.
Nun etwas abschätzen:
Schätze das [mm]0,23^n[/mm] gegen einen möglichst einfachen größeren Ausdruck [mm]M[/mm] ab, der nicht von [mm]n[/mm] abhängt. [mm]M[/mm] musst du finden ...
Das soll nun [mm]<\varepsilon[/mm] sein.
Löse die Ungleichung [mm]\frac{2}{n}+M<\varepsilon[/mm] nach [mm]n[/mm] auf und du hast dein gesuchtes [mm]N[/mm]
Gruß
schachuzipus
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