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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:36 Fr 08.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helfer!
Zu zeigen ist:
fast sicher konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] stochastisch konvergent
Wer kann mir helfen, folgenden Beweis zu verstehen? |
Beweis:
Für jedes [mm]\varepsilon > 0 [/mm] gilt
[mm] P(\vert Y_n-Y\vert \geq \varepsilon)\leq P(\sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon)\to P(\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon \text{für unendlich viele k})\leq P(Y_n\not\to Y)[/mm]
Dies ist ein Beweis, den ich gefunden habe; leider verstehe ich so Manches daran nicht.
Ich fange mal an:
Das erste [mm]\leq [/mm] gilt wohl, weil [mm]\vert Y_n-Y\vert \subseteq \sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert[/mm] und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Nun ist es so, dass [mm] \sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert \geq \sup_{k\geq n+1}\vert Y_k-Y\vert [/mm] gilt. Somit handelt es sich um eine fallende Folge und man kann bei der Limesbildung ([mm]n\to\infty[/mm]) das Limes "hereinziehen".
Dann bin ich bei [mm]P(\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon)[/mm].
Für unendlich viele k kommt dann da heraus:
[mm]P(\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon [/mm], denn das ist ja der Limes superior und dieser ist ja nach Definition:
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon [/mm], wo herauskommt:
[mm]\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon[/mm], wobei k unendlich groß ist bzw. gegen Unendlich geht.
[So erkläre ich mir also das, was hinter dem [mm] \to [/mm] [/mm] steht.]
Ist das bis hier korrekt?
Wie erklärt sich das allerletzte [mm]\leq [/mm]?
Kann man sagen:
Da man ja davon ausgeht, dass Konvergenz fast überall vorliegt, streben die [mm] Y_k [/mm] gegen Y und da [mm] k\geq [/mm] n ist, ist
[mm][mm] \vert Y_k-Y\vert \subseteq \vert Y_n-Y\vert [/mm] für unendlich viele k und also folgt das letzte [mm]\leq [/mm] wegen der Monotonie des W.-Maßes, also
[mm]...\leq P(\vert Y_n-Y\vert \geq \varepsilon)=P(Y_n\not\to Y)=0 [/mm] n.V.
Das sind meine Ideen zu dem obigen Beweis.
Wer kann mir sagen, ob ich korrekt liege und mich verbessern?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 10.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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