Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:11 Mi 23.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | entscheiden sie, ob die folgen konvergieren. bestimmen sie gegebenfalls den grenzwert.
an = [mm] 2^n+3^{n+1}+5^{n-1}/3^n+5^{n+1} [/mm] |
ich weiß nicht, wie man die konvergenz hierbei sehen kann, da die n im exponenten mich sehr verwirren. ich wollte auch versuchen einen grenzwert auszurechnen aber ich weiß einfach nicht was ich mit den n machen soll.
gibt es bei solchen formen einen bestimmten trick?
|
|
| |
|
Guten Morgen,
> entscheiden sie, ob die folgen konvergieren. bestimmen sie
> gegebenfalls den grenzwert.
>
> an = [mm]2^n+3^{n+1}+5^{n-1}/3^n+5^{n+1}[/mm]
Meinst du vielleicht
[mm] a_n=\frac{2^n+3^{n+1}+5^{n-1}}{3^n+5^{n+1}}
[/mm]
Klammere im Zähler und Nenner [mm] 5^{n-1} [/mm] aus und kürze. Wende dann Grenzwertsätze an.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
danke das hat mir schon geholfen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 23.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ich habe jetzt eine andere aufgabe mit der selben aufgabenstellung:
[mm] a_n=\sqrt[3]{n^3+3n^2-n+1}-a*n [/mm] , [mm] a\in [/mm] R, fest
ich weiß wieder nicht wie ich anfangen muss...ich könnte mir vorstellen, dass ich mit irgendwas erweitern muss um eine binomische formel zu bekommen.
mir fällt das immer sehr schwer zu sehen mit was ich erweitern/ausklammern muss.
|
|
|
| |
|
Hallo sarah88,
> ich habe jetzt eine andere aufgabe mit der selben
> aufgabenstellung:
>
> [mm]a_n=\sqrt[3]{n^3+3n^2-n+1}-a*n[/mm] , [mm]a\in[/mm] R, fest
>
>
> ich weiß wieder nicht wie ich anfangen muss...ich könnte
> mir vorstellen, dass ich mit irgendwas erweitern muss um
> eine binomische formel zu bekommen.
> mir fällt das immer sehr schwer zu sehen mit was ich
> erweitern/ausklammern muss.
Hier muss so erweitert werden, daß im Zähler steht:
[mm]\left(n^{3}+3n^{2}-n+1\right)-\left(a*n\right)^{3}[/mm]
Den Erweiterungsfaktor ermittelst Du mit
[mm]\bruch{\left(n^{3}+3n^{2}-n+1\right)-\left(a*n\right)^{3}}{\sqrt[3]{n^3+3n^2-n+1}-a*n}[/mm]
Definiert man [mm]\alpha:=\sqrt[3]{n^3+3n^2-n+1}, \ \beta=a*n[/mm],
so steht dann da:
[mm]\bruch{\alpha^{3}-\beta^{3}}{\alpha-\beta}=\alpha^{2}+ \alpha*\beta+\beta^{2}[/mm]
Damit ist der Erweiterungsfaktor [mm]\alpha^{2}+ \alpha*\beta+\beta^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 23.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
muss ich dann damit den zähler erweitern?
|
|
|
| |
|
Hallo sarah88,
> muss ich dann damit den zähler erweitern?
Erweitern heisst doch, eine Zahl mit dem Faktor [mm]\bruch{u}{u}, u \not= 0[/mm] zu erweitern.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 24.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ich habe den erweiterungsfaktor jetzt bestimmt:
[mm] (\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+(an^2)
[/mm]
wenn ich damit die ausgangsform erweitere:
[mm] \bruch{(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}-an)*((\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+(an^2))}{(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+(an^2)}
[/mm]
und dann? ich bin etwas verwirrt, sorry :S
|
|
|
| |
|
Hallo sarah88,
> ich habe den erweiterungsfaktor jetzt bestimmt:
>
> [mm](\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+(an^2)[/mm]
>
> wenn ich damit die ausgangsform erweitere:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}-an)*((\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+(an^2))}{(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+(an^2)}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zusammengefasst steht da:
[mm]\bruch{n^3+3n^2-n+1-a^{3}n^{3}}{(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2)+(\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an)+a^{2}n^{2}}[/mm]
> und dann? ich bin etwas verwirrt, sorry :S
Lass jetzt [mm]n \to \infty[/mm] laufen.
Der Grenzwert ist von a abhängig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 24.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
um das zu sehen, muss ich dort einfach hohe werte einsetzen und gucken wie es sich verhält oder muss ich irgendwas mit limes machen?
weil mit stumpfen einsetzen kann ich ja keinen genauen wert ermitteln :/
|
|
|
| |
|
Hallo sarah88,
> um das zu sehen, muss ich dort einfach hohe werte einsetzen
> und gucken wie es sich verhält oder muss ich irgendwas mit
> limes machen?
Ja, klammere so aus, daß Du Nullfolgen erzeugen kannst.
> weil mit stumpfen einsetzen kann ich ja keinen genauen
> wert ermitteln :/
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 24.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
wie gesagt, ich weiß immer nicht wie ich das erkennen kann. ich muss ja jetzt glaub ich etwas ausklammern das gegen [mm] \infty [/mm] geht. aber alle teile des zählers gehen doch gegen [mm] \infty. [/mm] welchen wähle ich denn dann?
|
|
|
| |
|
Hallo sarah88,
> wie gesagt, ich weiß immer nicht wie ich das erkennen
> kann. ich muss ja jetzt glaub ich etwas ausklammern das
> gegen [mm]\infty[/mm] geht. aber alle teile des zählers gehen doch
> gegen [mm]\infty.[/mm] welchen wähle ich denn dann?
Klammer Im Zähler und Nenner [mm]n^{2}[/mm] aus.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 24.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
hab ich jetzt gemacht:
[mm] \bruch{n^2(n+3-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}-\bruch{a^3}{n^2}*n}{n^2(\bruch{\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2}{n^2}+\bruch{\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an}{n^2}+a^2}
[/mm]
das ist doch immer noch nicht eindeutig zu sehen gegen was das konvergiert oder? sorry wenn ich es nicht richtig verstehe :S
|
|
|
| |
|
Hallo sarah88,
> hab ich jetzt gemacht:
>
> [mm]\bruch{n^2(n+3-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}-\bruch{a^3}{n^2}*n}{n^2(\bruch{\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2}{n^2}+\bruch{\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}*an}{n^2}+a^2}[/mm]
>
> das ist doch immer noch nicht eindeutig zu sehen gegen was
> das konvergiert oder? sorry wenn ich es nicht richtig
Das [mm]n^{2}[/mm] im Nenner in der Klammer
musst Du in die einzelnen Summanden hereinnehmen:
[mm]\bruch{\wurzel[3]{n^3+3n^2-n+1}^2}{n^2}=\bruch{\wurzel[3]{(n^3+3n^2-n+1)^2}}{\wurzel[3]{\left(n^{3}\right)^{2}}}=\wurzel[3]{\bruch{\left(n^3+3n^2-n+1\right)^2}
{\left(n^{3}\right)^{2}}}[/mm]
[mm]=\wurzel[3]{\left(\bruch{n^3+3n^2-n+1}{n^{3}}\right)^{2}}=\wurzel[3]{\left(1+\bruch{3}{n}-\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{3}\right)^{2}}[/mm]
> verstehe :S
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:17 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
habs jetzt verstanden, vielen dank :)
|
|
|
|
