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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktionsfolge [mm] $(f_n)_{n\in \IN} \subset \mathbb{F} ((0,\infty [/mm] ), [mm] \IR [/mm] )$ definiert durch [mm] $f_n(x):=\bruch{n}{x^3}e^{-\bruch{n}{2x^2}}$ [/mm] auf Konvergenz. Exisitieren die Integrale [mm] $\integral_0^\infty {f_n(x)dx}$? [/mm] Darf man Limesbildung und Integration vertauschen? |
Also ich steh hier irgendwie ein wenig auf dem Schlauch.
Kann ich hier vllt das Majorantenkriterium zur überprüfung der Konvergenz benutzen?
Und wann existieren die Integrale?
Wenn das Integral einen Grenzwert besitzt?
Und Limesbildung und Integration darf doch nur vertauscht werden, wenn [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig konvergiert, oder?
Vielen Dank
LG
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Funktionsfolge [mm](f_n)_{n\in \IN} \subset \mathbb{F} ((0,\infty ), \IR )[/mm]
> definiert durch [mm]f_n(x):=\bruch{n}{x^3}e^{-\bruch{n}{2x^2}}[/mm]
> auf Konvergenz. Exisitieren die Integrale
> [mm]\integral_0^\infty {f_n(x)dx}[/mm]? Darf man Limesbildung und
> Integration vertauschen?
> Also ich steh hier irgendwie ein wenig auf dem Schlauch.
> Kann ich hier vllt das Majorantenkriterium zur
> überprüfung der Konvergenz benutzen?
Nein.
Zeige: für festes x>0 gilt: [mm] f_n(x) \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty). [/mm] D.h.: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [mm] (0,\infty [/mm] ) punktweise gegen die Nullfunktion.
> Und wann existieren die Integrale?
Berechne mal [mm] \integral_{a}^{b}{f_n(x) dx} [/mm] für a<b. Mit einer einfachen Substitution geht das ganz einfach. Dann schau was passiert, wenn a [mm] \to [/mm] 0 und b [mm] \to \infty [/mm] geht.
> Wenn das Integral einen Grenzwert besitzt?
S.o.
> Und Limesbildung und Integration darf doch nur vertauscht
> werden, wenn [mm]f_n[/mm] gleichmäßig konvergiert, oder?
Wenn [mm] (f_n) [/mm] glm. auf (0, [mm] \infty) [/mm] konvergiert, ja.
FRED
>
> Vielen Dank
> LG
> Dudi
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> > Untersuchen Sie die Funktionsfolge [mm](f_n)_{n\in \IN} \subset \mathbb{F} ((0,\infty ), \IR )[/mm]
> > definiert durch [mm]f_n(x):=\bruch{n}{x^3}e^{-\bruch{n}{2x^2}}[/mm]
> > auf Konvergenz. Exisitieren die Integrale
> > [mm]\integral_0^\infty {f_n(x)dx}[/mm]? Darf man Limesbildung und
> > Integration vertauschen?
> > Also ich steh hier irgendwie ein wenig auf dem
> Schlauch.
> > Kann ich hier vllt das Majorantenkriterium zur
> > überprüfung der Konvergenz benutzen?
>
> Nein.
>
> Zeige: für festes x>0 gilt: [mm]f_n(x) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty).[/mm]
> D.h.: [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [mm](0,\infty[/mm] ) punktweise gegen
> die Nullfunktion.
Okay, kann ich das dann so machen?:
[mm] $\limes_{n\to \infty}{\bruch{n}{x^3}e^{-\bruch{n}{2x^2}}}=\limes_{n\to \infty}{\bruch{n}{x^3e^{\bruch{n}{2x^2}}}}=_{l'Hospital}\limes_{n\to \infty}{\bruch{1}{\bruch{1}{2}xe^{\bruch{n}{2x^2}}}}=0$
[/mm]
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> > Und wann existieren die Integrale?
>
> Berechne mal [mm]\integral_{a}^{b}{f_n(x) dx}[/mm] für a<b. Mit
> einer einfachen Substitution geht das ganz einfach. Dann
> schau was passiert, wenn a [mm]\to[/mm] 0 und b [mm]\to \infty[/mm] geht.
>
>
Okay, also ich denke ich muss sicherlich irgendwie [mm] $\bruch{n}{x}$ [/mm] oder so substituieren, oder?
> > Wenn das Integral einen Grenzwert besitzt?
>
> S.o.
>
>
> > Und Limesbildung und Integration darf doch nur vertauscht
> > werden, wenn [mm]f_n[/mm] gleichmäßig konvergiert, oder?
>
> Wenn [mm](f_n)[/mm] glm. auf (0, [mm]\infty)[/mm] konvergiert, ja.
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank
> > LG
> > Dudi
>
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Hiho,
> Okay, kann ich das dann so machen?:
> [mm]\limes_{n\to \infty}{\bruch{n}{x^3}e^{-\bruch{n}{2x^2}}}=\limes_{n\to \infty}{\bruch{n}{x^3e^{\bruch{n}{2x^2}}}}=_{l'Hospital}\limes_{n\to \infty}{\bruch{1}{\bruch{1}{2}xe^{\bruch{n}{2x^2}}}}=0[/mm]
joar, wobei ich l'Hospital bei Folgen in [mm] \IN [/mm] unschön finde.
Aber das macht hier erstmal nix.
> Okay, also ich denke ich muss sicherlich irgendwie
> [mm]\bruch{n}{x}[/mm] oder so substituieren, oder?
Substituiere die gesamte Potenz durch z und schau, was passiert.
MFG,
Gono.
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Okay, aber wenn ich die ganze Potenz substituiere, wie mache ich das dann mit dem [mm] $\bruch{n}{x^3}$
[/mm]
Dann hätte ich ja:
[mm] $-\frac{2z}{x}e^z$ [/mm] wenn ich [mm] $z=-\frac{n}{2x^2}$ [/mm] setze, oder?
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Hiho,
substituiere bitte korrekt, d.h. du musst natürlich auch dein dx korrekt substituieren!
Berechne dafür [mm] $\bruch{dz}{dx}$ [/mm] und stelle nach dx um.
MFG,
Gono.
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Okay, sorry :)
Dann ergibt sich für dx:
[mm] $dx=\frac{x^3}{n}dz$
[/mm]
somit ergibt sich dann:
[mm] $\int_a^b{e^zdz}=[\frac{1}{z}e^z]_a^b$ [/mm] Stimmt dass dann soweit?
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> Okay, sorry :)
> Dann ergibt sich für dx:
> [mm]dx=\frac{x^3}{n}dz[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> somit ergibt sich dann:
> [mm]\int_a^b{e^zdz}=[\frac{1}{z}e^z]_a^b[/mm] Stimmt dass dann
> soweit?
Was ist denn die Stammfunktion von [mm] e^x [/mm] ??
MFG,
Gono.
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Die Stammfunktion ist natürlich [mm] $e^z$. [/mm] Sorry, dann hab ich also
und dann mache ich eine rücksubstition, oder und setze die entsprechenden Grenzen a und b für x ein?!
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Hiho,
also so wie du es aufgeschrieben hast, ist es falsch.
Wenn du substituierst, musst du natürlich auch die Grenzen substituieren.
D.h. entweder du "ignorierst" die Grenzen und substituierst zurück um dann wieder a und b zu benutzen, oder du machst es korrekt und substituierst die Grenzen korrekt mit, dann brauchst du nicht zurück substituieren.
MFG,
Gono.
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Sorry, das war etwas unsauber aufgeschrieben.
[mm] $\int_{-\frac{n}{2a^2}}^{-\frac{n}{2b^2}}{e^zdz}=e^{-\frac{n}{2b^2}}-e^{-\frac{n}{2a^2}}$
[/mm]
Aber wenn ich das jetzt für a=0 anschaue, dann ist das ja gar nicht definiert, oder?!
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Hiho,
> [mm]\int_{-\frac{n}{2a^2}}^{-\frac{n}{2b^2}}{e^zdz}=e^{-\frac{n}{2b^2}}-e^{-\frac{n}{2a^2}}[/mm]
> Aber wenn ich das jetzt für a=0 anschaue, dann ist das ja
> gar nicht definiert, oder?!
Stimmt. Darum sollst du es ja auch nicht für $a=0$ anschauen, sondern für [mm] $a\to [/mm] 0$.
Und dieser Grenzwert existiert.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> >
> [mm]\int_{-\frac{n}{2a^2}}^{-\frac{n}{2b^2}}{e^zdz}=e^{-\frac{n}{2b^2}}-e^{-\frac{n}{2a^2}}[/mm]
>
>
>
> > Aber wenn ich das jetzt für a=0 anschaue, dann ist das ja
> > gar nicht definiert, oder?!
>
> Stimmt. Darum sollst du es ja auch nicht für [mm]a=0[/mm]
> anschauen, sondern für [mm]a\to 0[/mm].
> Und dieser Grenzwert
> existiert.
>
Okay, das wäre dann ja:
[mm] $\lim_{a \to 0}{e^{-\frac{n}{2a^2}}}=0$
[/mm]
und
[mm] $\lim_{b \to \infty}{e^{-\frac{n}{2b^2}}}=1$
[/mm]
Aber ich verstehe nicht ganz, warum ich da schauen muss, ob die Grenzwerte existieren, wenn doch gefragt ist, ob ein Integral von 0 bis unendlich existiert?!
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Okay, das wäre dann ja:
> [mm]\lim_{a \to 0}{e^{-\frac{n}{2a^2}}}=0[/mm]
> und
> [mm]\lim_{b \to \infty}{e^{-\frac{n}{2b^2}}}=1[/mm]
> Aber ich verstehe nicht ganz, warum ich da schauen muss, ob
> die Grenzwerte existieren, wenn doch gefragt ist, ob ein
> Integral von 0 bis unendlich existiert?!
ja was hast du denn jetzt ausgerechnet?
Doch genau dieses Integral, es gilt nämlich:
[mm] $\integral_0^\infty\,f(x)\,dx [/mm] = [mm] \lim_{b\to\infty}\lim_{a\to 0}\integral_a^b \,f(x)\,dx$
[/mm]
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > Okay, das wäre dann ja:
> > [mm]\lim_{a \to 0}{e^{-\frac{n}{2a^2}}}=0[/mm]
> > und
> > [mm]\lim_{b \to \infty}{e^{-\frac{n}{2b^2}}}=1[/mm]
>
>
>
> > Aber ich verstehe nicht ganz, warum ich da schauen muss, ob
> > die Grenzwerte existieren, wenn doch gefragt ist, ob ein
> > Integral von 0 bis unendlich existiert?!
>
> ja was hast du denn jetzt ausgerechnet?
> Doch genau dieses Integral, es gilt nämlich:
>
> [mm]\integral_0^\infty\,f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\lim_{a\to 0}\integral_a^b \,f(x)\,dx[/mm]
>
Ah, okay :)
Stimmt :)
Super. Vielen Vielen Dank!
Hast du mir vielleicht noch einen Tipp, wie ich am besten Prüfe, ob [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig konvergent ist? :)
Danke
LG Dudi
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Hast du mir vielleicht noch einen Tipp, wie ich am besten
> Prüfe, ob [mm]f_n[/mm] gleichmäßig konvergent ist? :)
prüfe, ob du Integralbildung und Grenzwert [mm] n\to\infty [/mm] vertauschen kannst.
Was ist denn [mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_0^\infty\,f_n(x)\,dx$ [/mm] und was ist $ [mm] \integral_0^\infty\,\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx$.
[/mm]
Das Denken nehmen wir dir hier nicht ab...
MFG,
Gono.
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