Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich habe mir eine Aufgabe rausgesucht mit folgender Folge:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{2^{n}-n^{2}}{2^{n}+n^{2}}
[/mm]
für lim n-> unendlich geht die Folge gegen den Grenzwert = 1
also muss ich zeigen, dass Betrag von [mm] a_n [/mm] -1 [mm] \le \epsilon
[/mm]
dafür habe ich mit [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] erweitert und erhalte dann:
[mm] \frac{2n^2}{2n+n^2} \le \epsilon [/mm] den Betrag im Zähler habe ich schon verrechnet ( wegen Betrag von [mm] -2n^2 [/mm] = [mm] 2n^2 [/mm] ) und der Betrag im Zähler ist unnötig, da es sich um n [mm] \in \IN [/mm] handelt und daher n > 0
stimmt das soweit?
und wie kann ich dies jetzt nach n umformen?
ich komme nur bis:
[mm] \frac{2n^2}{\epsilon} \le [/mm] 2n + [mm] n^2
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
danke für deine schnelle Antwort
du hast recht. in meiner Rechnung liegt ein Fehler und bei einer Subtraktion macht erweitern nicht so viel Sinn
meine Idee war aber ( 1 = [mm] \frac{2^{n}+n^2}{2^{n}+n^2} [/mm] ]
also dann
[mm] \frac{2^{n}-n^{2}-2^{n}-n^2}{2^{n}+n^2} [/mm]
= [mm] \frac{-2n^2}{2^{n}+n^2}
[/mm]
durch die Betragsstriche wird dies zu:
[mm] \frac{2n^2}{2^{n}+n^2} \le \epsilon
[/mm]
also auch
[mm] \frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm]
aber wie rechnet man dann weiter ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 So 01.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für deine schnelle Antwort
> du hast recht. in meiner Rechnung liegt ein Fehler und bei einer
> Subtraktion macht erweitern nicht so viel Sinn
> meine Idee war aber ( 1 = $ [mm] \frac{2^{n}+n^2}{2^{n}+n^2} [/mm] $ ]
> also dann
> $ [mm] \frac{2^{n}-n^{2}-2^{n}-n^2}{2^{n}+n^2} [/mm] = [mm] \frac{-2n^2}{2^{n}+n^2} [/mm] $
> durch die Betragsstriche wird dies zu:
> $ [mm] \frac{2n^2}{2^{n}+n^2} \le \epsilon [/mm] $
> also auch
$ [mm] \frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n} [/mm] $ + $ [mm] n^2 [/mm] $
Dir fehlt aber schon ein wenig Struktur - das solltest Du Dir anzueignen
versuchen (durch Deine Übungen versuchst Du das ja auch).
Man weiß:
[mm] $a_n=\frac{2^n-n^2}{2^n+n^2}\,.$
[/mm]
Jetzt fragt man sich: Was soll das hier?
> [mm] \frac{2^{n}-n^{2}-2^{n}-n^2}{2^{n}+n^2}
[/mm]
Schreib doch hin, was Du machst: Du willst [mm] $a_n-1$ [/mm] mal "umformen".
Eigentlich willst Du noch viel mehr: Du willst irgendwann
[mm] $|a_n-1|$
[/mm]
in den Griff bekommen. (Der geübte Korrektor versteht: Aha, sie will also
irgendwann [mm] $a_n \to [/mm] 1$ beweisen!)
Du musst das mal sauberer aufschreiben: Natürlich ist das gut, dass Du
[mm] $a_n-1=-\frac{2n^2}{2^n+n^2}$ [/mm] ausrechnest. Aber so
Sätze wie
"durch die Betragsstriche wird dies zu ..."
sind fehl am Platz - da stehen ja keine, und eigentlich weiß man bei Dir
auch nicht, wo welche herkommen sollen und wo sie hingehen sollen.
Die Wahrheit sieht doch so aus:
Für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] gilt
[mm] $a_n-1=-\frac{2n^2}{n^2+2^n} \le 0\,,$
[/mm]
also folgt für alle (alle bis auf endlich viele Ausnahmen würden uns auch
reichen) natürlichen [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $|a_n-1|\;=\;\frac{2n^2}{2^n+n^2}\,.$
[/mm]
Ich empfehle Dir folgendes: Daher folgt für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] auch
[mm] ($\*$) $|a_n-1|\;=\;\frac{2n^2}{2^n+n^2}\le \frac{2n^2}{2^n}\,.$
[/mm]
Das hilft Dir: Denn wenn
[mm] $\frac{2n^2}{2^n} \le \epsilon$
[/mm]
wird, dann erst recht [mm] $|a_n-1|$ [/mm] (wegen [mm] ($\*$)).
[/mm]
Und
[mm] $2n^2/2^n \le \epsilon$
[/mm]
"für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] zu erzwingen", ist gar nicht so schwer, wenn man
[mm] $2^n\;\ge\; \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$
[/mm]
für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 3$ hat. (Siehe meine Mitteilung an Richie!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
danke
bis zu
[mm] \frac{2n^2}{2^{n}+n^2} \le \frac{2n^2}{2^{n}} [/mm]
verstehe ich das, allerderdings habe ich gelernt dann so umzuformen:
[mm] \frac{2n^2}{2^{n}} \le \frac{2N^2}{2^{N}} \le \epsilon [/mm]
ist es nicht möglich [mm] \frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n} [/mm] anders umzuformen, so dass nur n auf einer Seite steht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> danke
> bis zu
> [mm]\frac{2n^2}{2^{n}+n^2} \le \frac{2n^2}{2^{n}}[/mm]
> verstehe ich das, allerderdings habe ich gelernt dann so
> umzuformen:
> [mm]\frac{2n^2}{2^{n}} \le \frac{2N^2}{2^{N}} \le \epsilon[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast doch garkein [mm] N=N(\epsilon)\in\IN [/mm] gewählt!
> ist es nicht möglich [mm]\frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n}[/mm]
> anders umzuformen, so dass nur n auf einer Seite steht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich weiß ja auch gar nicht wie ich den Bruch
[mm] \frac{2n^2}{2^{n}} \le \epsilon [/mm] weiter umforme damit ich nur n auf einer Seite habe
ich komme an dieser Stelle leider nicht weiter als
[mm] \frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n}
[/mm]
wie formt man nun weiter um?
|
|
|
| |
|
Hallo Maya,
> ich weiß ja auch gar nicht wie ich den Bruch
> [mm]\frac{2n^2}{2^{n}} \le \epsilon[/mm] weiter umforme damit ich
> nur n auf einer Seite habe
Das geht auch gar nicht.
> ich komme an dieser Stelle leider nicht weiter als
> [mm]\frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n}[/mm]
> wie formt man nun weiter
> um?
Tut man nicht. Das ist nicht auflösbar.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
hey
und wie? außer durch abschätzen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> hey
> und wie? außer durch abschätzen?
Was ist denn an Abschätzen auszusetzen? Das ist ja noch mühsam genug.
Es geht doch nicht darum, das kleinste [mm] N\in\IN [/mm] zu finden, so dass das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] für alle $n>N$ oder meinetwegen [mm] n\ge{N} [/mm] erfüllt ist. Es genügt irgendein $N$.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo,
> danke
> bis zu
> [mm]\frac{2n^2}{2^{n}+n^2} \le \frac{2n^2}{2^{n}}[/mm]
> verstehe ich das, allerderdings habe ich gelernt dann so
> umzuformen:
> [mm]\frac{2n^2}{2^{n}} \le \frac{2N^2}{2^{N}} \le \epsilon[/mm]
> ist es nicht möglich [mm]\frac{2n^2}{\epsilon} \le 2^{n}[/mm]
> anders umzuformen, so dass nur n auf einer Seite steht?
Nein, das wird nicht klappen. Hier muss man beginnen einfach mal abzuschätzen. Dann kannst du wieder das n isolieren.
Gleichungen der Art [mm] 2^n+n^2=c [/mm] sind aber nicht sauber algebraisch zu lösen. Man ist hier also ein klein wenig aufgeschmissen. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ok. kann ich abschätzen indem ich schreibe:
[mm] \frac{2n^2}{2^n} \le \frac{2n^2}{2} \le [/mm] epsilon
nun könnte ich ja weiter umformen..darf man das so?
|
|
|
| |
|
Hi grüß dich,
falsche Richtung.
Wenn du so abschätzt, wie du es gemacht hast, dann weißt du ja nicht, ob der neue Term wirklich kleiner ist als [mm] \epsilon.
[/mm]
Vion daher schätze lieber nach unten ab.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ups du hast recht
also:
[mm] \frac{2n^2}{2^n} \ge \frac{2n}{2^n} \ge \frac{2}{2^n} \le \epsilon [/mm]
geht es so? allerdings habe ich jetzt immer noch n in der Potenz im Nenner..
|
|
|
| |
|
Neee ;)
Du kannst doch nicht sowas schreiben wie
$3>2<5$, was soll das denn bedeuten? Gilt da nun $3<5$ oder $3>5$?
> ups du hast recht
> also:
> [mm]\frac{2n^2}{2^n} \ge \frac{2n}{2^n} \ge \frac{2}{2^n} \le \epsilon[/mm]
> geht es so? allerdings habe ich jetzt immer noch n in der
> Potenz im Nenner..
[mm] \frac{1}{2^n}\le\frac{2n^2}{2^n}\le\epsilon.
[/mm]
Wobei die Abschätzung schon sehr grob ist.
Und nun weiter umformen:
[mm] \frac{1}{\varepsilon}\le2^n
[/mm]
Wir wenden den Logarithmus an:
[mm] log_2(\frac{1}{\varepsilon})\le{n}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
aber es müsste doch eigentlich nun heißen:
[mm] \frac{log(\frac{1}{\epsilon})}{log(2)} \le [/mm] n
also auch:
[mm] \frac{log(\frac{1}{\epsilon})}{log(2)} \le [/mm] N
dann habe ich ja die Ungleichungskette:
[mm] ...\frac{1}{2^{n}} \le \frac{1}{2^{N}} \le \epsilon [/mm]
aber wie kann ich jetzt hier den obigen Term einsetzten? denn es steht ja nicht .. [mm] \ge [/mm] N sondern [mm] ...\le [/mm] N
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Kein Problem!
Das nächste mal bitte als Nachricht sowas
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hallöle,
mal ein anderer Ansatz:
[mm] a_n=\frac{2^n-n^2}{2^n+n^2}=\frac{2^n}{2^n}\frac{1-n^2/2^n}{1+n^2/2^n}=\frac{1-n^2/2^n}{1+n^2/2^n}
[/mm]
Nun bedienen wir uns den Grenzwertsätzen:
[mm] \frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}, [/mm] wenn [mm] a_n\to{a} [/mm] und [mm] b_n\to{b} [/mm] und [mm] b_n\not=0 [/mm] für [mm] n>n_0 [/mm] und [mm] b\not=0.
[/mm]
Es ist also nur noch zu zeigen, dass [mm] c_n:=\frac{n^2}{2^n}\to{0}. [/mm] Das ist aber nun auch recht einfach. (Monotonie und Beschränkheit hilft.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallöle,
>
> mal ein anderer Ansatz:
>
> [mm]a_n=\frac{2^n-n^2}{2^n+n^2}=\frac{2^n}{2^n}\frac{1-n^2/2^n}{1+n^2/2^n}=\frac{1-n^2/2^n}{1+n^2/2^n}[/mm]
>
> Nun bedienen wir uns den Grenzwertsätzen:
>
> [mm]\frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b},[/mm] wenn [mm]a_n\to{a}[/mm] und [mm]b_n\to{b}[/mm]
> und [mm]b_n\not=0[/mm] für [mm]n>n_0[/mm] und [mm]b\not=0.[/mm]
>
> Es ist also nur noch zu zeigen, dass
> [mm]c_n:=\frac{n^2}{2^n}\to{0}.[/mm] Das ist aber nun auch recht
> einfach. (Monotonie und Beschränkheit hilft.)
einfacher:
[mm] $2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \ge [/mm] {n [mm] \choose 3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$
[/mm]
für $n [mm] \ge [/mm] 3$ hilft.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
