Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich habe die Folge:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3^{2^{n}}*3^{n^{2}}}{2^{3^{n}}*2^{n^{3}}}
[/mm]
das sind doch umgeformt:
[mm] \frac{(9+3^{n})^2}{(8+2^{n})^3}
[/mm]
richtig?
aber der Grenzwert lässt sich ja hier nicht einfach ablesen..er müsste irgendwo bei 1,26.. liegen, aber wie kann man dies rechnerich beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
die Folge geht gegen unenedlich. ich habe verstanden. Ist dazu noch mehr als ein Beweis über limes erforderlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 So 01.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Maya,
> die Folge geht gegen unenedlich.
Das ist falsch.
> ich habe verstanden. Ist
> dazu noch mehr als ein Beweis über limes erforderlich?
Nein, der würde reichen.
Besser ist aber Du zeigst, dass sie sehr schnell gegen 0 konvergiert. Das wäre nämlich richtig.
Grüße
rev
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Hallo Maya,
Du hast Schwächen bei den  Potenzgesetzen. Das solltest Du dringend nacharbeiten.
> ich habe die Folge:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{3^{2^{n}}*3^{n^{2}}}{2^{3^{n}}*2^{n^{3}}}[/mm]
Also z.B. [mm] a_1=\bruch{3^2*3^1}{2^3*2^1}=\bruch{27}{8}=3,375;\quad a_2=\bruch{3^4*3^4}{2^9*2^8}=\bruch{6561}{131072}\approx{0,050056}
[/mm]
Nur so noch [mm] a_3=\bruch{3^8*3^9}{2^{27}*2^{27}}\approx{0,000000007169}
[/mm]
Fällt Dir etwas auf?
> das sind doch umgeformt:
> [mm]\frac{(9+3^{n})^2}{(8+2^{n})^3}[/mm]
> richtig?
Nein, nein, nein. Wie kommst Du darauf?
> aber der Grenzwert lässt sich ja hier nicht einfach
> ablesen..er müsste irgendwo bei 1,26.. liegen, aber wie
> kann man dies rechnerich beweisen?
So nicht. Noch ein Tipp: im allgemeinen ist [mm] a^{b^c}=a^{(b^c)}\not=(a^b)^c.
[/mm]
Zum Rechnen: logarithmier den ganzen Bruch mal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
dann ist es eine Nullfolge oder?
Was genau meinst du mit Logarhitmieren?
das hier:
[mm] log_a (\frac{3^{2^{n}}*3^{n^{2}}}{2^{3^{n}}*2^{n^{3}}})
[/mm]
= [mm] log_a(3^{2^{n}}*3^{n^{2}})-log_a(2^{3^{n}}*2^{n^{3}})
[/mm]
aber was setze ich für a ein? leider kenne ich mich mit dem Logarhitmus nicht wirklich aus..wie subtrahiert man denn 2 Logarhitmen mit einer Unbekannten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
leider finde ich bei Wikipedia nur die Rechengesetze. Bzw das Rechengesetz für den Quotient. Daher habe ich auch gar kein Ansatz wie man 2 Logarhitmen subtrahiert. Wo fängt man denn da an? Kann man das noch irgendwie weiter zusammenfassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> leider finde ich bei Wikipedia nur die Rechengesetze. Bzw
> das Rechengesetz für den Quotient. Daher habe ich auch gar
> kein Ansatz wie man 2 Logarhitmen subtrahiert.
Wirklich nicht ?
[mm] log_a(x)-log_a(y)=log_a(x/y)
[/mm]
FRED
Wo fängt
> man denn da an? Kann man das noch irgendwie weiter
> zusammenfassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
so weit war ich ja schon..bzw daraus ist ja der Term entstanden. Die Ursprungsfolge war ja ein Quotient..
dann wäre es jetzt noch nicht sinnvoll wieder ein Quotient drauszumachen oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
für die Differenz gibt es nichts einfaches, außer eben wieder den Bruch im log. Benutze due anderen log Gesetze um die einzelnen logs zu vereinfachen.
Und nochmal: probier ein bissel mehr rum!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
würde ich gerne. allerdings verstehe ich nicht ganz :-( es geht ja darum zu beweisen, dass die Folge eine Nullfolge ist. Aber ich habe leider keine Idee wie ich log [mm] (\frac{3^{2^{n}}*3^{n^{2}}}{2^{3^{n}}*2^{n^{3}}})
[/mm]
noch weiter umformen kann..ich könnte wieder eine Subtraktion drausmachen. aber das wäre ja ein Schritt zurück
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Die Subtraktion war richtig.
Nun hast du Produkte.
Was gilt für Produkte?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
für Multiplikation gilt Addition also:
[mm] (ln(3^{2^{n}}) [/mm] + ln [mm] (3^{n^{2}})) [/mm] - [mm] (ln(2^{3^{n}}) [/mm] + [mm] ln(2^{n^{3}}))
[/mm]
= [mm] ln(3^{2^{n}}) [/mm] + ln [mm] (3^{n^{2}}) [/mm] - [mm] ln(2^{3^{n}}) [/mm] - [mm] ln(2^{n^{3}})
[/mm]
jetzt könnte ich ja zwei neue Brüche erstellen oder? ist das an dieser Stelle sinnvoll? den die Exponenten sind ja immer noch unterschiedlich..wie geht man dann vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hast du dir aber wirklich den Artikel bei Wikipedia durchgelesen?
Es gibt noch weitere Logarithmusgesetze!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ahh ich glaub ich weiß was du meinst:
[mm] ln(3^{2^{n}}) [/mm] + ln [mm] (3^{n^{2}}) [/mm] - [mm] ln(2^{3^{n}}) [/mm] - [mm] ln(2^{n^{3}})
[/mm]
[mm] =2^{n}* [/mm] ln(3) + [mm] n^{2}*ln(3) [/mm] - [mm] 3^{n}*ln(2) [/mm] - [mm] n^{3}*ln(2)
[/mm]
meinst du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> ahh ich glaub ich weiß was du meinst:
> [mm]ln(3^{2^{n}})[/mm] + ln [mm](3^{n^{2}})[/mm] - [mm]ln(2^{3^{n}})[/mm] -
> [mm]ln(2^{n^{3}})[/mm]
> [mm]=2^{n}*[/mm] ln(3) + [mm]n^{2}*ln(3)[/mm] - [mm]3^{n}*ln(2)[/mm] - [mm]n^{3}*ln(2)[/mm]
> meinst du das?
Schon besser. Weiter nachdenken!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
also gut. dann kann ich jetzt umformen zu:
[mm] 2^{n}* [/mm] ln(3) + [mm] n^{2}*ln(3) [/mm] - [mm] 3^{n}*ln(2) [/mm] - [mm] n^{3}*ln(2)
[/mm]
= [mm] (2^{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] ) * ln(3) - [mm] (3^{n} [/mm] + [mm] n^3) [/mm] * ln(2)
jetzt soll ich ja zeigen, dass dies eine Nullfolge ist.. aber für große n wird der gesamte Term doch immer kleiner als 0 oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay
[mm] |a_n| [/mm] = [mm] |(2^{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] ) * ln(3) - [mm] (3^{n} [/mm] + [mm] n^3) [/mm] * ln(2)|
= [mm] (2^{n} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] ) * ln(3) + [mm] (3^{n} [/mm] + [mm] n^3) [/mm] * ln(2)
meinst du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> okay
> [mm]|a_n|[/mm] = [mm]|(2^{n}[/mm] + [mm]n^2[/mm] ) * ln(3) - [mm](3^{n}[/mm] + [mm]n^3)[/mm] * ln(2)|
> = [mm](2^{n}[/mm] + [mm]n^2[/mm] ) * ln(3) + [mm](3^{n}[/mm] + [mm]n^3)[/mm] * ln(2)
> meinst du das?
Nein.
Anderes Beispiel:
Sei [mm] a_n:=x [/mm] mit [mm] x\in\IR_{0}^{+}.
[/mm]
Du machst: [mm] a_n=x \gdw a_n=ln(x) [/mm] (Achtung, falsch!)
Die Gleichung muss erhalten bleiben!
Tipp: [mm] e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)
[/mm]
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
achso:
[mm] |a_n| [/mm] =| [mm] \frac{3^{2^{n}}*3^{n^{2}}}{2^{3^{n}}*2^{n^{3}}}| \le [/mm] | [mm] 3^{2^{n}}*3^{n^{2}} [/mm] | [mm] \le [/mm] ... [mm] \le [/mm] .... [mm] \le \epsilon [/mm]
darf man so abschätzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> achso:
> [mm]|a_n|[/mm] =| [mm]\frac{3^{2^{n}}*3^{n^{2}}}{2^{3^{n}}*2^{n^{3}}}| \le[/mm]
> | [mm]3^{2^{n}}*3^{n^{2}}[/mm] | [mm]\le[/mm] ... [mm]\le[/mm] .... [mm]\le \epsilon[/mm]
> darf man so abschätzen?
Wie kommt du denn auf die Idee?
Es geht darum, dass du eigentlich folgendes betrachtest:
[mm] |a_n|=|e^{\ln{a_n}}|
[/mm]
Das ist nämlich äquivalent!
Du gehst die ganze Zeit davon aus, dass [mm] |a_n|=|ln(a_n)| [/mm] gilt, was falsch ist!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
stimmt. das war die Umformung mit der eulerischen Zahl:
[mm] a_n [/mm] = [mm] e^{(2^{n} + n^2 ) * ln(3) - (3^{n} + n^3) * ln(2)} [/mm]
meinst du das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay:
[mm] e^{(2^{n} + n^2 ) * ln(3) - (3^{n} + n^3) * ln(2)} \le e^{(2^{n} + n^2 )} \le e^{n^2} \le e^{n} [/mm] ..
kann man das so sagen? oder ist das zu weit abgeschätzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> okay:
> [mm]e^{(2^{n} + n^2 ) * ln(3) - (3^{n} + n^3) * ln(2)} \le e^{(2^{n} + n^2 )} \le e^{n^2} \le e^{n}[/mm]
> ..
> kann man das so sagen? oder ist das zu weit abgeschätzt?
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich kann verstehen, dass du die erste Ungleichung falsch abgeschätzt, aber für welches [mm] N\in\IN [/mm] soll [mm] e^{n^2}\le e^{n} [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gelten?
Es gilt: [mm] e^x> [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Betrachte: [mm] \phi:\IN\longrightarrow\IR [/mm] mit [mm] n\longrightarrow\ln3(2^{n} [/mm] + [mm] n^2 )-\ln2(3^{n}+ n^3)
[/mm]
Guck dir nun die Terme genau an und schätze [mm] \phi [/mm] nach oben ab.
Kann [mm] \ln3(2^n+n^2) [/mm] negativ werden?
Kann [mm] -\ln2(3^n+n^3) [/mm] positiv werden?
In welcher Relation stehen [mm] 2^n [/mm] und [mm] n^2 [/mm] bzw. [mm] 3^n [/mm] und [mm] n^3 [/mm] und für welche [mm] n\in\IN [/mm] gelten diese Relationen?
...
Probiere mehr aus!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
>
> Es gilt: [mm]e^x>[/mm] 0 für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> Betrachte: [mm]\phi:\IN\longrightarrow\IR[/mm] mit
> [mm]n\longrightarrow\ln3(2^{n}[/mm] + [mm]n^2 )-\ln2(3^{n}+ n^3)[/mm]
>
> Guck dir nun die Terme genau an und schätze [mm]\phi[/mm] nach oben
> ab.
>
> Kann [mm]\ln3(2^n+n^2)[/mm] negativ werden?
Nein
> Kann [mm]-\ln2(3^n+n^3)[/mm] positiv werden?
auch nicht
>
> In welcher Relation stehen [mm]2^n[/mm] und [mm]n^2[/mm] bzw. [mm]3^n[/mm] und [mm]n^3[/mm] und
ich weiß nicht genau was du damit meinst. Im einen ist n im Exponent und im anderen in der Basis
> für welche [mm]n\in\IN[/mm] gelten diese Relationen?
> ??
> ...
>
> Probiere mehr aus!
würde ich gerne, allerdings weiß ich nicht genau was du mit abschätzen meinst..da der positive Teil des Exponenten kleiner ist als der hinterer negantive Teil des Exponenten, erhalten wir immer einen negativen Exponenten..damit der gesmte Term sich auf 0 zubewegt muss entweder der positive Teil des Exponenten kleiner werden oder der negative Teil noch negativer
>
> DieAcht
>
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja dein letzter Satz stimmt. Also versuch ihn auch zu zeigen. welcher Exponent ist denn größer?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
der mit n im Exponenten, also [mm] 3^{n} [/mm] bzw [mm] 2^{n} [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sollst du nicht uns fragen, sondern wenn du es glaubbst zeigen, d.h, begründen
du fasst Mathe als eine Art Ratespiel auf und wir sind die Schiedsrichter?
Deine neuen Fragen kommen viel zu schnell, als dass du dir eine Begründung überlegt haben kannst oder?
Gru0 leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
aber ich habe ja auch nur noch ca 30 Minuten Zeit..sonst wäre das ganze ja kein Problem
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kannst du mir wenigstens sagen wie der erste abgeschätzte Term aussieht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 04.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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