Konvergenz & Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in \IN} \subset \IC [/mm] Folgen. Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] gegen ein a [mm] \in \IC [/mm] konvergiert und [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in \IN} [/mm] eine Nullfolge ist, also gegen 0 konvergiert, dann ist die Folge [mm] (b_{n})_{n\in \IN} [/mm] beschränkt. |
Hallo zusammen,
weiß nicht so recht wie ich das beweisen/wiederlegen soll, habe mir erstmal die „Fakten“ mathematisch notiert:
Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] konvergiert gegen ein a, also:
[mm] \forall\varepsilon<0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall [/mm] n [mm] \ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon [/mm]
und die Folge [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in \IN} [/mm] konvergiert gegen 0, also:
[mm] \forall\varepsilon<0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall [/mm] n [mm] \ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}b_{n}-0||<\varepsilon [/mm] (???)
Man kann jetzt annehmen, dass die Aussage gilt, also es existiert eine Schranke C, sodass die Norm von allen Folgengliedern von [mm] b_{n}kleiner [/mm] gleich diesem C ist...Wie mache ich daraus was brauchbares?
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte!
(Als Hinweis haben wir bekommen, dass wir die Fälle a=0 und [mm] a\not= [/mm] 0 unterscheiden sollen)
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Es seien [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] und [mm](b_{n})_{n\in \IN} \subset \IC[/mm]
> Folgen. Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm]
> gegen ein a [mm]\in \IC[/mm] konvergiert und [mm](a_{n}b_{n})_{n\in \IN}[/mm]
> eine Nullfolge ist, also gegen 0 konvergiert, dann ist die
> Folge [mm](n_{n})_{n\in \IN}[/mm] beschränkt.
> (Als Hinweis haben wir bekommen, dass wir die Fälle a=0
> und [mm]a\not=[/mm] 0 unterscheiden sollen)
Hallo,
in der Aufgabenstellung ist ein Tippfehler, du willst wohl die Folge [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm] untersuchen.
Ganz allgemein ist die Aussage falsch, das lässt sich leicht mit Gegenbesipiel zeigen: Sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] die Nullfolge [mm] ($a_n=0\:\:\forall [/mm] n [mm] \in \IN$), [/mm] also insbesondere konvergent und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegeben durch [mm] $b_n [/mm] = n [mm] \:\: \forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann ist die Produktfolge [mm] $(a_n b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] Nullfolge, aber [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nicht beschränkt.
Bist du sicher dass nicht ausgeschlossen ist, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] die Nullfolge ist, dann ist es nämlich schon schwieriger?
LG Lippel
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Hallo, danke für die Antwort!
Stimmt, danke, habe den Tippfehler geändert.
Also das ist die Aufgabenstellung 1:1, d.h. es wird nicht explizit ausgeschlossen, dass [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] die Nullfolge ist.
In diesem Fall müsste ich, wie du schon sagtest einfach nur [mm] a_{n}=0 \forall [/mm] n setzen (Ist das dann eine „Nullfolge“? Ich dachte, unter Nullfolge versteh man eine Folge, die gegen 0 konvergiert...gut das macht die im Prinzip auch, ist das dann ein „Spezialfall“ einer Nullfolge???)
Wenn man annehmen würde, dass es die Einschränkung gibt, also dass [mm] a_{n} [/mm] keine Nullfolge sein darf, wie müsste man dann rangehen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> In diesem Fall müsste ich, wie du schon sagtest einfach
> nur [mm]a_{n}=0 \forall[/mm] n setzen (Ist das dann eine
> „Nullfolge“? Ich dachte, unter Nullfolge versteh man
> eine Folge, die gegen 0 konvergiert...gut das macht die im
> Prinzip auch, ist das dann ein „Spezialfall“ einer
> Nullfolge???)
Ja, ist ein Spezialfall, war von mir falsch ausgedrückt, aber du hast ja verstanden, was ich gemeint habe.
>
> Wenn man annehmen würde, dass es die Einschränkung gibt,
> also dass [mm]a_{n}[/mm] keine Nullfolge sein darf, wie müsste man
> dann rangehen?
Ist [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] keine Nullfolge, so gibt es ein [mm] $a^\* [/mm] > 0$ und ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] sodass [mm] $|a_n| [/mm] > [mm] a^\* \:\: \forall \: [/mm] n [mm] \geq [/mm] N$.
Anschaulich: Wenn die Folgenglieder nicht gegen 0 konvergieren, gibt es einen Abstand zur 0, der ab einem gewissen Folgenglied nicht mehr unterschritten wird. Würde jeder Abstand wieder unterschritten, dann wäre die Folge ja gerade eine Nullfolge. (Hierbei ist die Voraussetzung wichtig, dass [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert, sonst könnte es ja eine Teilfolge geben, die gegen 0 konvergiert, und [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] wäre trotzdem nicht notwendig Nullfolge.)
Du weißt nun: [mm] $\forall \: [/mm] n [mm] \geq [/mm] N: [mm] |a_n b_n| \geq a^\* |b_n|$.
[/mm]
Was folgt damit für [mm] $(b_n)$, [/mm] wenn [mm] $(a_n b_n)$ [/mm] Nullfolge ist?
LG Lippel
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Hallo zusammen,
habe jetzt nochmals versucht die Behauptung zu Beweisen für den Fall, dass [mm] a\not=0:
[/mm]
Die Produktfolge [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist eine Nullfolge, d.h.:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\ varepsilon): \forall n\ge N_{0}(\ varepsilon): ||a_{n}b_{n}-0|| <\varepsilon [/mm] und durch Abschätzung mit der Dreicksungleichung:
[mm] ||a_{n}||-||b_{n}||<\varepsilon \gdw ||b_{n}||\le\varepsilon-||a_{n}|| [/mm] (1) (die Null fällt aus der Ungleichung ja raus?!)
Weiter weiß ich ja, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] gegen einen Grenzwert (nennen wir ihn a) konvergieren soll, also:
[mm] \forall \varepsilon>0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall [/mm] n [mm] \ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon
[/mm]
Durch abschätzen mit der Dreicksungleichung und Umformung erhält man:
[mm] ||a_{n}||\le\varepsilon+a
[/mm]
Jetzt kann ich die Aussage (1) doch noch weiter abshätzen, weil ich weiß dass [mm] \varepsilon+a [/mm] größer gleich [mm] ||a_{n}|| [/mm] ist, damit muss auch gelten:
[mm] b_{n}\le\varepsilon-(\varepsilon+a) \gdw b_{n}\le [/mm] -a
Macht das irgendwie Sinn? Fall nicht- wo liegt mein Fehler?
Und komme ich mit diesem Ansatz überhaupt weiter, denn so hätte ich (falls es denn stimmt) bisher nur gezeigt dass [mm] b_{n}\le [/mm] C (in diesem Fall -a) für alle [mm] n\ge N_{0}(\varepsilon), [/mm] nicht aber für die n , welche kleiner sind,...
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> habe jetzt nochmals versucht die Behauptung zu Beweisen
> für den Fall, dass [mm]a\not=0:[/mm]
>
> Die Produktfolge [mm](a_{n}b_{n})_{n\in\IN}[/mm] ist eine Nullfolge,
> d.h.:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\ varepsilon): \forall n\ge N_{0}(\ varepsilon): ||a_{n}b_{n}-0|| <\varepsilon[/mm]
> und durch Abschätzung mit der Dreicksungleichung:
>
> [mm]||a_{n}||-||b_{n}||<\varepsilon \gdw ||b_{n}||\le\varepsilon-||a_{n}||[/mm]
> (1) (die Null fällt aus der Ungleichung ja raus?!)
Das ist leider falsch, ist mir ein Rätsel wie du zu [mm]||a_{n}||-||b_{n}||<\varepsilon[/mm] kommst. Das ist zumindest nicht die Dreieckungleichung die ich kenne. Die greift hier auch gar nicht, da du je ein Produkt [mm]||a_{n}b_{n}||<\varepsilon[/mm] betrachtest. Es gilt aber:
[mm]\varepsilon>||a_{n}b_{n}||=||a_{n}||\:||b_{n}||[/mm] für beliebiges [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Bereits daraus kannst du die Behauptung schließen, denn [mm] $a_{n}$ [/mm] sollte ja gegen ein $a [mm] \not=0$ [/mm] konvergieren. Benutze, dass du ab einem genügend großen $N [mm] \in \IN$ [/mm] die Folgenglieder [mm] $a_n, [/mm] n>N$ echt weg von 0 beschränken kannst, d.h. es existiert ein b mit: [mm] $||a_n|| \geq [/mm] b > 0$. Wie kannst du auf die Existenz eines solchen b's schließen. Wie kommst du damit zur Behauptung?
LG Lippel
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Also halten wir nochmals fest: Dadurch, dass die Produktfolge konvergiert erhalten wir:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\varepsilon):\forall n\ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}b_{n}-0||<\varepsilon \gdw ||a_{n}||*||b_{n}||<\varepsilon.
[/mm]
Zudem soll noch gelten, dass [mm] a_{n} [/mm] Gegen einen Grenzwert [mm] a\not=0 [/mm] konvergiert.
Also:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\varepsilon):\forall n\ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon \gdw ||a_{n}||-||a||<\varepsilon
[/mm]
Soweit sollten die „Fakten“ doch erstmal stimmen?
Mein Ziel ist es ja zu zeigen, dass die Folge [mm] b_{n} [/mm] dann beschränkt ist, ich suche also eine Schranke C für die gilt:
[mm] ||b_{n}||\le [/mm] C
Ich sehe leider nicht, wie ich darauf komme. Müsste ich erstmal anfangen die Aussage über die Produktfolge nach [mm] b_{n} [/mm] umzuformen, etwa:
[mm] ||b_{n}||<\bruch{\varepsilon}{||a_{n}||}
[/mm]
Wäre nett, wenn mir da noch jemand helfen könnte!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich hab nicht alles gelesen, aber wenn ich es richtig verstanden habe, ist [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] (a_n*b_n) [/mm] konv. gegen 0
Aus [mm] a_n \to [/mm] a folgt : [mm] |a_n| \to [/mm] |a| >0. Damit ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] |a_n|> [/mm] |a|/2 für n>m. Insbes. ist [mm] a_n \ne [/mm] 0 für n>m.
[mm] (a_n*b_n) [/mm] ist beschränkt, also ex. ein c>0 mit [mm] |a_nb_n| \le [/mm] c für jedes n.
Für n>m ist dann:
[mm] |b_n| \le \bruch{c}{|a_n|} \le \bruch{2c}{|a|}
[/mm]
FRED
P.S. Von [mm] (a_nb_n) [/mm] wird nur die Beschränktheit benötigt !
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> Ich hab nicht alles gelesen, aber wenn ich es richtig
> verstanden habe, ist [mm](a_n)[/mm] eine konvergente Folge mit dem
> Grenzwert a [mm]\ne[/mm] 0 und [mm](a_n*b_n)[/mm] konv. gegen 0
> genau!
> Aus [mm]a_n \to[/mm] a folgt : [mm]|a_n| \to[/mm] |a| >0. Damit ex. ein m [mm]\in \IN[/mm]
> mit: [mm]|a_n|>[/mm] |a|/2 für n>m. Insbes. ist [mm]a_n \ne[/mm] 0 für
> n>m.
>
> [mm](a_n*b_n)[/mm] ist beschränkt, also ex. ein c>0 mit [mm]|a_nb_n| \le[/mm]
> c für jedes n.
>
> Für n>m ist dann:
>
> [mm]|b_n| \le \bruch{c}{|a_n|} \le \bruch{2c}{|a|}[/mm]
>
> FRED
>
> P.S. Von [mm](a_nb_n)[/mm] wird nur die Beschränktheit benötigt !
Das verstehe ich leider nicht ganz: Ich weiß dass die Produktfolge Nullfolge ist, also konvergiert und demnach auch beschränkt ist. Also existiert für die Produktfolge eine Schranke C, das ist mir noch klar.
Aber weshalb folgt aus der Konvergenz der Folge [mm] a_{n} [/mm] gegen ein [mm] a\not=0, [/mm] dass [mm] ||a_{n}||>\bruch{||a||}{2} [/mm] für ein n>m ??
Ich kenne nur diese Definition von Konvergenz:
[mm] \forall\varepsilon<0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall [/mm] n [mm] \ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon
[/mm]
Sorry, wenn ich das gleiche nochmals fragen muss, aber als Student im ersten Semester fällt mir das ganze noch nicht ganz so leicht und ich sehe einiges noch nicht so schnell.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand ausgehend von diesen Definitionen erklären könnte, wie ich daraus auf eine Schranke schließen kann, um zu zeigen dass die Folge [mm] b_{n} [/mm] beschränkt ist.
(Ich bin sicher, dass wurde von fred im letzten Post bereits super gemacht, allerdings ist es für mich noch nicht nachvollziehbar-vllt wegen mangelnder erfahrung)
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Das verstehe ich leider nicht ganz: Ich weiß dass die
> Produktfolge Nullfolge ist, also konvergiert und demnach
> auch beschränkt ist. Also existiert für die Produktfolge
> eine Schranke C, das ist mir noch klar.
> Aber weshalb folgt aus der Konvergenz der Folge [mm]a_{n}[/mm]
> gegen ein [mm]a\not=0,[/mm] dass [mm]||a_{n}||>\bruch{||a||}{2}[/mm] für ein
> n>m ??
Ok, nochmal ganz langsam. Sorry, wenns für dich ein bisschen zu schnell ging, aber gut, dass du darauf hinweist.
Also: zuerst anschaulich dann formal zur Behauptung: [mm]a\not=0 \Rightarrow ||a_{n}||>\bruch{||a||}{2}[/mm] für ein n>m?
Anschaulich: Stell dir die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] vor, die sich immer weiter einem Wert a nähert, der nicht 0 ist. Dann gilt doch, dass es einen Bereich um a herum gibt, den die Folge ab einem gewissen $n [mm] \in \IN$ [/mm] nicht mehr verlässt, da sie sich a ja immer weiter nähert. Diesen Bereich um a kannst du beliebig klein machen, und trotzdem wird die Folge ab einem gewissen Glied immer darin liegen. Nun kannst du genau den Bereich [mm] $[a-\frac{||a||}{2}, a+\frac{||a||}{2}]$ [/mm] betrachten. a liegt in diesem Bereich, d.h. ab einem gewissen Folgenglied verlässt die Folge den Bereich nicht mehr. Jetzt betrachtest du den Betrag der Folgenglieder, also [mm] $||a_n||$. [/mm] Die Folge [mm] $(||a_n||)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $||a||\:$. [/mm] Sie nähert sich also [mm] $||a||\:$ [/mm] beliebig nah an. Das heißt aber auch, dass sie ab einem Folgenglied im Bereich [mm] $[||a||-\frac{||a||}{2}, ||a||+\frac{||a||}{2}]$ [/mm] bleibt, und damit folgt die Behauptung von Fred: [mm] $||a_{n}||>\bruch{||a||}{2} \:\:\forall [/mm] n>N$ für ein gewisses $N [mm] \in \IN$.
[/mm]
Nun Formal, per Widerspruchsargument: Wir nehmen an es würde kein solches $N [mm] \in \IN$ [/mm] geben, sodass [mm] $\forall \:n>N: ||a_n||>\frac{||a||}{2}$
[/mm]
Damit folgt: [mm] $\forall \:m \in \IN \:\exists\: [/mm] n > m: [mm] ||a_n|| \leq \frac{||a||}{2} \Rightarrow \:\forall \:m \in \IN \:\exists\: [/mm] n > m: [mm] ||a_n-a|| \geq \frac{||a||}{2}$ [/mm] im Widerspruch zum epsilon-Kriterium der Konvergenz.
Ich hoffe das ist nun verständlich.
LG Lippel
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