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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz, Bew, Gegenbsp,
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Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Fr 17.04.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] reelle Folgen, [mm] (a_n) [/mm] beschränkt, [mm] b_n \rightarrow [/mm] b, [mm] c_n [/mm] := [mm] 2^{a_n b_n} [/mm] und [mm] d_n [/mm] = [mm] 10^{10} (a_n (b_n-b)). [/mm]
Richtig oder Falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
a) [mm] (c_n) [/mm] ist beschränkt
b) [mm] (c_n) [/mm] ist konvergent
c) [mm] (d_n) [/mm] ist konvergent
d) [mm] (d_n c_n) [/mm] ist konvergent

Hallo;)

Da [mm] a_n [/mm] beschränkt ist [mm] \exists [/mm] K>0: [mm] |a_n| \le [/mm] K [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] |2^{a_n b_n}| [/mm] = [mm] 2^{a_n b_n} \le 2^{K b_n} [/mm]
Da [mm] b_n \rightarrow [/mm] b konvergiert ist [mm] (b_n) [/mm] beschränkt: [mm] \exists [/mm] R>0: [mm] |b_n| \le [/mm] R [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] ..2^{K b_n}\le 2^{KR} [/mm]
Damit ist a) richtig

b)
Ich glaube b) ist falsch, ich habe jedoch noch kein konkretes Gegenbeispiel gefunden.

c)
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |b_n-b|<\epsilon [/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig und [mm] \overline{\epsilon}=\frac{\epsilon}{10^{10} K} [/mm]
[mm] |d_n| [/mm] < [mm] 10^{10} [/mm] K * [mm] \overline{\epsilon} [/mm] = [mm] \epsilon [/mm]
c) ist also richtig

d)
Hier bräuchte ich auch einen Tipp, finde da gar keinen Ansatz.
[mm] d_n c_n [/mm] = [mm] 10^{10} (a_n (b_n-b))2^{a_n b_n} [/mm]

        
Bezug
Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: zu a.) und b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Fr 17.04.2015
Autor: Loddar

Hallo sissile!

> a)

> Da [mm]a_n[/mm] beschränkt ist [mm]\exists[/mm] K>0: [mm]|a_n| \le[/mm] K [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]|2^{a_n b_n}|[/mm] = [mm]2^{a_n b_n} \le 2^{K b_n}[/mm]
> Da [mm]b_n \rightarrow[/mm] b konvergiert ist [mm](b_n)[/mm] beschränkt: [mm]\exists[/mm] R>0: [mm]|b_n| \le[/mm]
> R [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]..2^{K b_n}\le 2^{KR}[/mm]
> Damit ist a) richtig

[daumenhoch]


> b)

> Ich glaube b) ist falsch,

[ok]


> ich habe jedoch noch kein konkretes Gegenbeispiel gefunden.

Wie wäre es z.B. mit [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] (-1)^n$ [/mm] ?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 Fr 17.04.2015
Autor: sissile

Hallo,
Ich wollte gerade in dem Augenblick eine Mitteilung machen mit [mm] a_n=(-1)^n, b_n=1. [/mm]

Danke;)

Bezug
        
Bezug
Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Sa 18.04.2015
Autor: leduart

Hallo
[mm] a_n=(-1)^n [/mm] ist beschränkt
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:22 Sa 18.04.2015
Autor: sissile

Danke, aber wenn du eine Mitteilung weiter oben schaust habe ich das nun auch endlich erkannt ;D
Würde mich über Hilfe bei d) sehr freuen!

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Sa 18.04.2015
Autor: fred97


> Danke, aber wenn du eine Mitteilung weiter oben schaust
> habe ich das nun auch endlich erkannt ;D
>  Würde mich über Hilfe bei d) sehr freuen!

Das Produkt einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist eine Nullfolge

FRED

>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz, Bew, Gegenbsp,: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Sa 18.04.2015
Autor: sissile

Du hast recht, hatte die ganze Zeit nur daran gedacht, dass allgemein wenn [mm] a_n [/mm] beschränkt ist und [mm] b_n [/mm] konvergent, [mm] a_n b_n [/mm] nicht konvergent sein muss. Aber wenn [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist das ja anders!

Danke!
LG,
sissi

Bezug
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