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| Aufgabe | Betrachten Sie die Reihe [mm] (\summe_{k=1}^{n} a_k)_{ n \in \IN} [/mm] , die mittels
[mm] a_k [/mm] = [mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{2^k}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{3^k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] gegeben ist.
Untersuchen Sie die Reihe mithilfe des Majorantenkriteriums, des Quotientenkriteriums und des Wurzelkriteriums auf Konvergenz bzw. begründen Sie, warum das entsprechende Kriterium hier nicht anwendbar ist. |
Hallo,
also ich kann eigentlich die Reihe ( bei k ungerade) , also
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^k} [/mm] zu [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{2})^k [/mm] umformen
Das ist die geometrische Reihe und diese Reihe geht gegen 2
Weil [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 2
Okay, das darf ich aber laut Aufgabe nicht verwenden.
Ich versuche mal das Wurzelkriterium:
Es muss ja [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(\bruch{1}{2})^k} [/mm] < 1 gelten, damit die Reihe konvergiert.
Nun ja, probieren wir es mal: [mm] \wurzel[n]{(\bruch{1}{2})^k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{\bruch{k}{n}} [/mm]
Das sagt irgendwie nicht viel aus? Wenn das Wurzelkriterium nix aussagt, brauche ich das Quotientenkriterium gar nicht anwenden, da das Wurzelkriterium stärker ist.
Ist das bis hierhin richtig? Welche Folge kann ich für das Majorantenkriterum anwenden ? Ein Tipp wäre nett.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Di 08.12.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
die Reihe besteht aber nicht nur aus Summanden mit ungeradem Index.
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Hallo,
ja, das weiß ich , aber ich dachte ich betrachte die zwei Reihen jeweils einmal für k gerade und einmal für k ungerade.
Das heißt ich rechne sozusagen zwei Mal.
Wie soll das sonst anders gehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Mi 09.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst aber genau die Reihe untersuchen und sie nicht in 2 Teilreihen trennen. was machst du dann mit dem Quotientenkriterium? was mit dem Wurzelkriterium, gibt es eine konvergente Majorante?
Gruß leduart
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Ich sehe einen Fehler bei der Anwendung des Wurzelkriteriums.
dass muss heißen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{1}{2}^{k}|}
[/mm]
Daraus ergibt sich: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\|\bruch{1}{2}^{\bruch{k}{k}}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Di 08.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
stimmt, ich danke dir.
Ich nehme an, bei k gerade läuft es genau so. Sprich, dort kommt dann [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus.
Also konvergent.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Reihe [mm](\summe_{k=1}^{n} a_k)_{ n \in \IN}[/mm]
> , die mittels
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{2^k}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{3^k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
> gegeben ist.
Was soll das "f(n)" ????
>
> Untersuchen Sie die Reihe mithilfe des
> Majorantenkriteriums, des Quotientenkriteriums und des
> Wurzelkriteriums auf Konvergenz bzw. begründen Sie, warum
> das entsprechende Kriterium hier nicht anwendbar ist.
> Hallo,
> also ich kann eigentlich die Reihe ( bei k ungerade) ,
> also
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^k}[/mm] zu [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{2})^k[/mm]
> umformen
Die kannst Doch nicht einfach die Reihenglieder mit geradem Index rauswerfen ????
>
> Das ist die geometrische Reihe und diese Reihe geht gegen 2
> Weil [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}[/mm] = 2
>
> Okay, das darf ich aber laut Aufgabe nicht verwenden.
>
> Ich versuche mal das Wurzelkriterium:
>
> Es muss ja [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(\bruch{1}{2})^k}[/mm]
> < 1 gelten, damit die Reihe konvergiert.
>
> Nun ja, probieren wir es mal: [mm]\wurzel[n]{(\bruch{1}{2})^k}[/mm]
> = [mm](\bruch{1}{2})^{\bruch{k}{n}}[/mm]
>
> Das sagt irgendwie nicht viel aus? Wenn das Wurzelkriterium
> nix aussagt, brauche ich das Quotientenkriterium gar nicht
> anwenden, da das Wurzelkriterium stärker ist.
>
> Ist das bis hierhin richtig?
Nein !
> Welche Folge kann ich für das
> Majorantenkriterum anwenden ? Ein Tipp wäre nett.
Majorantenkriterium:
Wir haben für gerades k
(1) 0 [mm] \le a_k=\bruch{1}{3^k} \le \bruch{1}{2^k}
[/mm]
und für ungerades k
(2) 0 [mm] \le a_k=\bruch{1}{2^k} [/mm] .
Aus (1) und (2) folgt:
0 [mm] \le a_k \le \bruch{1}{2^k} [/mm] für alle k.
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}$ [/mm] konvergiert, also ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] konvergent.
Wurzelkriterium: für k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] w_k:=\wurzel[k]{|a_k|}. [/mm] Dann ist
$ [mm] w_k=\begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] $,
also [mm] $w_k \le \bruch{1}{2}$ [/mm] für alle k. Es folgt: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] ist konvergent.
Quotientenkriterium: für k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] $q_k:=|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|$
[/mm]
Rechne nach:
$ [mm] q_k=\begin{cases} \bruch{1}{3}*(\bruch{2}{3})^k, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{2}*(\bruch{3}{2})^k, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] $.
Liefert diese Kriterium nun eine Entscheidung ?
FRED
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