Konvergenz Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Di 19.06.2007 | | Autor: | lc76 |
| Aufgabe | Gegeben sind reelle Zahlen ak mit mit ak >=0 für alle k [mm] \in [/mm] N. Zeigen Sie, dass die beiden unendlichen Reihen
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak/(1+ak)
beide konvergieren oder beide divergieren.
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Kann mir jemand helfen? Habe überhaupt keine Ahnung, wie die Aufgabe zu lösen ist :(
DANKE!!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 19.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Sei
[mm] \summe_{}^{} a_k [/mm] konvergent dann ist wegen [mm] a_k \ge [/mm] 0 [mm] a_k \ge \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] und daher
[mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] ebenfalls konvergent
gelichfalls folgt aus der Divergenz von [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] die Divergenz von [mm] \summe_{}^{} a_k
[/mm]
Wenn [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] konvergent folgt wenigstens, dass [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] eine NUllfolge ist und daher auch [mm] a_k [/mm] eine Nullfolge
daher aber auch ab einem gewissen [mm] N_0 [/mm] ist [mm] 1+a_k [/mm] sicherlich [mm] \le [/mm] 2
daher für k ab einem gewissen [mm] N_0 [/mm]
[mm] \bruch{a_k}{1+a_k} \ge \bruch{a_k}{2}
[/mm]
und daher
[mm] \summe_{k=N_0}^{\infty} a_k \le 2*\summe_{k=N_0}^{\infty}\bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] und daraus die konvergenz von [mm] \summe_{}^{} a_k
[/mm]
Bleibt der Fall [mm] \summe_{}^{} a_k [/mm] divergent
Fall 1: [mm] a_k [/mm] konvergieren gegen C [mm] \in \IR^+_0
[/mm]
d.h für ein D>0 gilt ab einem gewissen [mm] N_0 [/mm] gilt [mm] a_k \le [/mm] C+D
daher
[mm] \summe_{k=N_0}^{\infty}\bruch{a_k}{1+a_k} \ge \bruch{1}{1+C+D}\summe_{k=N_0}^{\infty}a_k
[/mm]
und daraus die Divergenz von [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm]
Fall 2: [mm] a_k [/mm] divergieren dann konvergiert wegen [mm] \bruch{a_k}{1+a_k} =\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_k}} [/mm] der Summand gegen 1, was bedeutet, dass [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] ebenfalls divergiert.
q.e.d
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