Konvergenz / Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden Reihen:
(i) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} z^n
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n+1}
[/mm]
(iii) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{z^n}{(n+1)^2}
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) Alle drei Reihen konvergieren für |z|<1 und divergieren für |z| >1 für z [mm] \in \IC
[/mm]
(b) Die Reihe (i) divergiert für jedes z mit |z| = 1
(c) Die Reihe (iii) konvergiert für jedes z mit |z| = 1 |
Hi,
Also zu (a): für (i) ist das ja klar, wegen der geometrischen Reihe, aber kann ich dann nicht irgendwie (i) als Majorante für die anderen beiden Reihen verwenden?
zu (b): Das ist doch irgendwie trivial, oder? Denn für |z| = 1 folgt ja, dass [mm] z^n [/mm] für beliebiges n immer 1 ist, oder reicht das nicht?
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wende das Wurzelkriterium auf Deine Reihen an. Beachte, dass
[mm] $\wurzel[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] sowie
[mm] $\wurzel[n]{r} \to [/mm] 1$ für festes $r [mm] \ge [/mm] 1$
(Diese letzte Aussage läßt sich vielleicht verschärfen, aber mehr brauchst Du nicht.)
Wie kann man daraus folgern, dass [mm] $\wurzel[n]{n+1} \to [/mm] 1$?
Wie folgert man daraus, dass [mm] $\wurzel[n]{\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{\wurzel[n]{n+1}} \to [/mm] 1$ und [mm] $\frac{1}{\wurzel[n]{n+1}^2} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Was heißt das dann entsprechend für [mm] $\limsup$
[/mm]
P.S.:
Der Laufindex unter der Summe ist sicherlich nicht $i$, sondern $n$.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe, ich glaube jetzt krieg ich das hin.
Du hast natürlich recht, der Laufindex ist n und nicht i, ich hatte nur verhessen das zu ändern^^.
Gruß Smex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
Also ich glaube ich habe es doch noch nicht so ganz verstanden:
Was nutzt mir denn überhaupt das wurzelkriterium? Ich kann damit doch gar keine Aussage über die Konvergenz treffen, denn auf [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] angewendet ergibt das Wurzelkriterium ja immer 1 und das bedeutet doch, dass ich nichts über die Konvergenz aussagen kann. Außerdem möchte ich doch die Konvergenz/Divergenz in Abhängigkeit von z bestimmen und nicht von n??
Gruß Smex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
so als Anmerkung:
Das Wurzelkriterium ist eine Folgerung aus der geometrischen Reihe, etc., schau' einfach mal in den Beweis dazu rein.
Ich mache es mal für die zweite Aufgabe vor:
Die Reihe konvergiert jedenfalls für alle $z$ mit [mm] $\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\vmat{\frac{z^n}{n+1}}}=|z|\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{1}{n+1}} [/mm] < 1$
und divergiert für alle $z$ mit
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\vmat{\frac{z^n}{n+1}}}=|z|\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{1}{n+1}} [/mm] > 1$,
woraus (mit dem Hinweis) folgt, dass sie für alle
$|z|<1$ konvergiert und für alle $|z|>1$ divergiert.
(Beachte, dass im Wurzelkriterium nichts steht, wenn der [mm] $\limsup_{...}...=1$ [/mm] ist. Da kann man i.a. keine Aussage treffen.)
Das erhälst Du auch natürlich sofort mit Cauchy-Hadamard, denn wie beweist man das? Eben: Mit dem Wurzelkriterium...
Und wenn Du Cauchy-Hadamard benutzt, benötigst Du also genauso wieder meine Hinweise...
Damit ist Teil (a) im Wesentlichen erledigt....
(Kannst Du das für die erste und letzte Reihe nun mal hinschreiben?)
Zu Teil (b):
Wenn eine Reihe konvergiert, ist die Folge der Summanden notwendig eine Nullfolge (beachte: das ist NOTWENDIG, aber NICHT HINREICHEND), das nennt man auch das Trivialkriterium.
Ist den bei der ersten Reihe für $|z|=1$ die Folge [mm] $(z^n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge? Das wäre genau dann der Fall, wenn auch die Folge [mm] $(|z|^n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge wäre...
Zu Teil c):
Hier gilt für $|z|=1$:
[mm] $\vmat{\frac{z^n}{(n+1)^2}}=\frac{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
Daher findest Du eine konvergente Majorante, so dass die Reihe
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{z}{(n+1)^2}$ [/mm] sogar (für $|z|=1$) absolut konvergent ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
Also gilt dann bei (a):
für (i): [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{z^n} [/mm] = |z|, d.h. konvergent für |z|<1 und divergent für |z|>1.
für (iii): [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{z^n}{(n+1)^2}} [/mm] = |z| [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{(n+1)^2}}
[/mm]
da [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty [/mm] läuft auch [mm] (n+1)^2 \to [/mm] 1, also auch [mm] \bruch{1}{(n+1)^2} \to [/mm] 1 damit konvergiert die Reihe also für |z|<1 und divergiert für |z|>1.
Stimmt das jetzt so ungefähr?
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also gilt dann bei (a):
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> für (i): [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{z^n}[/mm] =
> |z|, d.h. konvergent für |z|<1 und divergent für |z|>1.
Genau 
> für (iii): [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{z^n}{(n+1)^2}}[/mm]
> = |z| [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{(n+1)^2}}[/mm]
>
> da [mm]\wurzel[n]{n} \to[/mm] 1 für n [mm]\to \infty[/mm] läuft auch [mm](n+1)^2 \to[/mm]
> 1, also auch [mm]\bruch{1}{(n+1)^2} \to[/mm] 1 damit konvergiert
> die Reihe also für |z|<1 und divergiert für |z|>1.
>
> Stimmt das jetzt so ungefähr?
ja, das passt. Aber mir fehlt noch ein wenig die genaue Begründung bei (iii):
[mm] $\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{(n+1)^2}=\lim_{n \to \infty} \left(\wurzel[n]{n+1} \right)^2=\left(\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{n+1}\right)^2=1^2$.
[/mm]
Das sieht man z.B., wenn man $1 [mm] \le \wurzel[n]{n+1} \le \wurzel[n]{2n}=\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{n}$ [/mm] benutzt und weiß (bzw. bewiesen hat), dass [mm] $\wurzel[n]{n} \to [/mm] 1$ und [mm] $\wurzel[n]{2} \to [/mm] 1$.
(Deswegen auch der Hinweis mit [mm] $\wurzel[n]{r}$ [/mm] für $r [mm] \ge [/mm] 1$.)
Gruß,
Marcel
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