Konvergenz/Divergenz v. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Hab noch ne Reihe zur Übung:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{2^k} [/mm]
In dem Fall kann ich das Wurzel- und Quotientenkriterium nicht benutzen und eine harmonische Reihe oder das Leibnizkriterium kann ich ebenfalls nicht nutzen, eine geom. Reihe ist es auch nicht, hab ich was übersehen oder gibts hier wieder einen neuen Trick?
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Hallo Anazeug,
> Hab noch ne Reihe zur Übung:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2 + (-1)^k}{2^k}[/mm]
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> In dem Fall kann ich das Wurzel- und Quotientenkriterium
> nicht benutzen und eine harmonische Reihe oder das
> Leibnizkriterium kann ich ebenfalls nicht nutzen, eine
> geom. Reihe ist es auch nicht, hab ich was übersehen oder
> gibts hier wieder einen neuen Trick?
Klar. Teile die Reihe in zwei auf, die eine mit den ungeraden k, die andere mit den geraden. Dann untersuche beide.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ok,
Fall 1: k = 2n [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k} [/mm] konvergiert laut WK gegen [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Fall 2: k = 2n +1 [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2^k} [/mm] im Quotientenkriterium: [mm] \bruch{3}{2^{n+1}} \bruch{2^n}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2^n}{2^{n+1}} [/mm] den letzten Bruch kann man sicher auch ganz leicht kürzen, bin mir grad nur nicht sicher wie ...
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Hi!
> Ok,
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> Fall 1: k = 2n [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}[/mm]
> konvergiert laut WK gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Fall 2: k = 2n +1 [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2^k}[/mm] im
> Quotientenkriterium: [mm]\bruch{3}{2^{n+1}} \bruch{2^n}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^n}{2^{n+1}}[/mm] den letzten Bruch kann man sicher
> auch ganz leicht kürzen, bin mir grad nur nicht sicher wie
> ...
[mm]x^{a+b}=x^a \cdot x^b[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Haha, okay, peinlich, sorry ...
also auch gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] somit konvergiert die Reihe gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] was < 1 ist, somit konvergiert sie absolut, nech?
Ich danke euch! :)
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Hallo Anazeug,
> Haha, okay, peinlich, sorry ...
>
> also auch gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] somit konvergiert die Reihe
> gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] was < 1 ist, somit konvergiert sie
> absolut, nech?
>
Siehe dazu diesen Artikel.
> Ich danke euch! :)
Gruss
MathePower
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Hallo Anazeug,
> Ok,
>
> Fall 1: k = 2n [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^k}[/mm]
> konvergiert laut WK gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Fall 2: k = 2n +1 [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{2^k}[/mm] im
> Quotientenkriterium: [mm]\bruch{3}{2^{n+1}} \bruch{2^n}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^n}{2^{n+1}}[/mm] den letzten Bruch kann man sicher
> auch ganz leicht kürzen, bin mir grad nur nicht sicher wie
> ...
Da hast Du etwas verwechselt:
Für k=2n lautet die Reihe doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2^{2n}}[/mm]
Für k=2n+1 lautet die Reihe:[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{2n+1}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Oh, okay, dann komme ich auf:
für k = 2n mithilfe des Quotientenkriterium [mm] \bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}} [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums [mm] \bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}} [/mm] ebenfalls auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ...
So stimmts dann aber?
Danke fürs Aufmerksam machen :)
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Hallo Anazeug,
> Oh, okay, dann komme ich auf:
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> für k = 2n mithilfe des Quotientenkriterium
> [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
Hier musst Du doch untersuchen: [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2\left\blue{(n+1}}\right\blue{)}}[/mm]
> für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums
> [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}}[/mm] ebenfalls auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ...
>
Ebenso hier: [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2\left\blue{(}n+1\right\blue{)}\red{+1}}[/mm]
Du kannst hier nur eine Aussage machen ob diese Reihen konvergieren.
Über den Grenzwert kannst Du mit dem Quotientenkriterium nichts aussagen.
> So stimmts dann aber?
>
> Danke fürs Aufmerksam machen :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo Anazeug,
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> > Oh, okay, dann komme ich auf:
> >
> > für k = 2n mithilfe des Quotientenkriterium
> > [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
>
> Hier musst Du doch untersuchen:
> [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2\left\blue{(n+1}}\right\blue{)}}[/mm]
Was ist bei deiner Aussage anders als bei meiner?
> > für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums
> > [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}}[/mm] ebenfalls auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ...
> >
>
>
> Ebenso hier:
> [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2\left\blue{(}n+1\right\blue{)}\red{+1}}[/mm]
Hab da doch das gleiche stehen, nur dass ich die 1'sen zusammen addiert habe
> Du kannst hier nur eine Aussage machen ob diese Reihen
> konvergieren.
> Über den Grenzwert kannst Du mit dem Quotientenkriterium
> nichts aussagen.
okay, da stimm ich dir zu, kenne nur die Bedingung, dass das ausgerechnete, nennen wirs q < 1 sein soll und das wird hier erfüllt, somit konvergiert die Reihe ... ?
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Hallo Anazeug,
> > Hallo Anazeug,
> >
> > > Oh, okay, dann komme ich auf:
> > >
> > > für k = 2n mithilfe des Quotientenkriterium
> > > [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2n+1}}[/mm] konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > >
> >
> > Hier musst Du doch untersuchen:
> > [mm]\bruch{2^{2n}}{2^{2\left\blue{(n+1}}\right\blue{)}}[/mm]
>
> Was ist bei deiner Aussage anders als bei meiner?
>
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Reihengleider
stimmt nach Deiner Rechnung nicht.
> > > für k = 2n+1 mithilfe des Quotientenkriteriums
> > > [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2n+2}}[/mm] ebenfalls auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ...
> > >
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> >
> > Ebenso hier:
> >
> [mm]\bruch{2^{2n+1}}{2^{2\left\blue{(}n+1\right\blue{)}\red{+1}}[/mm]
>
> Hab da doch das gleiche stehen, nur dass ich die 1'sen
> zusammen addiert habe
>
> > Du kannst hier nur eine Aussage machen ob diese Reihen
> > konvergieren.
> > Über den Grenzwert kannst Du mit dem
> Quotientenkriterium
> > nichts aussagen.
>
> okay, da stimm ich dir zu, kenne nur die Bedingung, dass
> das ausgerechnete, nennen wirs q < 1 sein soll und das wird
> hier erfüllt, somit konvergiert die Reihe ... ?
Ja, die Reihe konvergiert.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ich danke dir! :)
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