Konvergenz Doppelreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 20.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass die Reihe [mm] f(z)=\summe_{m=-\infty}^{\infty}\summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{(z-m-in)^3} [/mm] eine meromorphe Funktion auf [mm] \IC [/mm] definiert. Wie ist die Lage der Polstellen? |
Hallo,
ich denke, dass ich zeigen muss, dass die Reihe für [mm] z\notin\{m+in, m,n\in \IZ\} [/mm] konvergiert. Dann ist [mm] \{m+in, m,n\in \IZ\} [/mm] die Polstellenmenge von f.
Doch wie kann ich das zeigen?
Ich hab mir überlegt, zuerst [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{(z-m-in)^3} [/mm] irgendwie abzuschätzen, so dass die äußere Reihe dann acuh konvergiert, doch wie?
Würd mich echt freuen, wenn mir jemand helfen kann...
Lg, Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mo 21.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Zu zeigen ist, dass die Reihe
> [mm]f(z)=\summe_{m=-\infty}^{\infty}\summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{(z-m-in)^3}[/mm]
> eine meromorphe Funktion auf [mm]\IC[/mm] definiert.
Ich definiere mal [mm] $\Lambda [/mm] := [mm] \{ n + i m \mid n, m \in \IZ \} [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + i [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IZ[i]$. [/mm] Dann ist $f(z) = [mm] \sum_{\omega \in \Lambda} \frac{(z - \lambda)^3}$.
[/mm]
> Wie ist die Lage der Polstellen?
> Hallo,
> ich denke, dass ich zeigen muss, dass die Reihe für
> [mm]z\notin\{m+in, m,n\in \IZ\}[/mm] konvergiert. Dann ist [mm]\{m+in, m,n\in \IZ\}[/mm]
> die Polstellenmenge von f.
Genau.
Versuch das doch mal so:
Sei $R > 0$ beliebig vorgegeben. Zeige, dass du alle bis auf endlich viele Summanden von $f(z)$ fuer $z [mm] \in B_R(0) \setminus \Lambda$ [/mm] unabhaengig von $z$ abschaetzen kannst. Und zwar versuchs mit den Summanden, die zu [mm] $\Lambda_R [/mm] := [mm] \{ \lambda \in \Lambda \mid |\lambda| > 2 R \}$ [/mm] gehoeren; d.h. du zeigst, dass [mm] $\sum_{\omega \in \Lambda_R} \frac{1}{(z - \omega)^3}$ [/mm] unabhaengig von $z [mm] \in B_R(0)$ [/mm] nach oben beschraenkt ist.
Hinweis: Ueberleg dir mal, dass $|z - [mm] \omega| \ge \frac{1}{2} |\omega|$ [/mm] gilt.
Um dann abzuschliessen, musst du zeigen, dass [mm] $\sum_{\omega \in \Lambda_R} \frac{1}{|\omega|^3}$ [/mm] konvergiert. Dazu behilf dir doch mit folgendem Trick: Betrachte die Majorante [mm] $\sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{|m + i n|^3}$, [/mm] finde eine Abschaetzung $|m + i n| [mm] \ge [/mm] K [mm] \cdot [/mm] (|n| + |m|$ fuer alle $(n, m) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$ (mit einer Konstanten $K > 0$) und ordne die Summe so um, dass du in der aeusseren Summe ueber $k = |n| + |m|$ summierst.
Ich hoff mal das war jetzt nicht zu durcheinander... Versuch mal wie weit du kommst, und wenn du steckenbleibst schreib auf wie weit du gekommen bist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 21.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
schön, dass Du wieder da bist  und danke für die Tipps. Stimmen meine Überlegungen?
> Zu zeigen ist, dass die Reihe
> $ [mm] f(z)=\summe_{m=-\infty}^{\infty}\summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{(z-m-in)^3} [/mm] $
> eine meromorphe Funktion auf $ [mm] \IC [/mm] $ definiert.
Ich definiere mal $ [mm] \Lambda [/mm] := [mm] \{ n + i m \mid n, m \in \IZ \} [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + i [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IZ[i] [/mm] $. Dann ist $ f(z) = [mm] \sum_{\omega \in \Lambda} \frac{(z - \lambda)^3} [/mm] $.
> Versuch das doch mal so:
> Sei $ R > 0 $ beliebig vorgegeben. Zeige, dass du alle bis auf endlich viele Summanden von $ f(z) $ fuer $ z [mm] \in B_R(0) \setminus \Lambda [/mm] $ unabhaengig > von $ z $ abschaetzen kannst. Und zwar versuchs mit den Summanden, die zu $ [mm] \Lambda_R [/mm] := [mm] \{ \lambda \in \Lambda \mid |\lambda| > 2 R \} [/mm] $ gehoeren; > d.h. du zeigst, dass $ [mm] \sum_{\omega \in \Lambda_R} \frac{1}{(z - \omega)^3} [/mm] $ unabhaengig von $ z [mm] \in B_R(0) [/mm] $ nach oben beschraenkt ist.
> Hinweis: Ueberleg dir mal, dass $ |z - [mm] \omega| \ge \frac{1}{2} |\omega| [/mm] $ gilt.
Das gilt doch deshalb, weil für [mm] z\in B_R(0), w\in \Lambda_R [/mm] gilt [mm] |z-w|\geq [/mm] R [mm] \geq \bruch{1}{2}|\omega|.
[/mm]
> Um dann abzuschliessen, musst du zeigen, dass $ [mm] \sum_{\omega \in \Lambda_R} \frac{1}{|\omega|^3} [/mm] $ konvergiert. Dazu behilf dir doch mit folgendem Trick: Betrachte die Majorante $ [mm] \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{|m + i n|^3} [/mm] $, finde eine Abschaetzung $ |m + i n| [mm] \ge [/mm] K [mm] \cdot [/mm] (|n| + |m| $ fuer alle $ (n, m) [mm] \neq [/mm] (0, 0) $ (mit einer Konstanten $ K > 0 $)
Hab folgende Abschätzung gefunden: [mm] |m+in|\geq max(|m|,|n|)\geq \bruch{1}{2}(|m|+|n|). [/mm] Stimmt das so?
> und ordne die Summe so um, dass du in der aeusseren Summe ueber $k = |n| + |m|$ summierst.
Die Summe [mm] \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{|m + i n|^3} [/mm] Majorantenkriterium also, wenn [mm] \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{(|m|+|n|)^3} [/mm] konvergiert. Da es für alle [mm] k\in \IN [/mm] genau 2k Paare [mm] (m,n)\neq [/mm] (0,0) gibt, so dass k = |n| + |m|, gilt
[mm] \sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{(|m|+|n|)^3}=\sum_{k} \frac{2k}{k^3}= 2\sum_{k} \frac{1}{k^2}<\infty.
[/mm]
Lg, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Mo 21.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> schön, dass Du wieder da bist und danke für die Tipps.
> Stimmen meine Überlegungen?
>
> > Zu zeigen ist, dass die Reihe
> >
> [mm]f(z)=\summe_{m=-\infty}^{\infty}\summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{(z-m-in)^3}[/mm]
> > eine meromorphe Funktion auf [mm]\IC[/mm] definiert.
>
> Ich definiere mal [mm]\Lambda := \{ n + i m \mid n, m \in \IZ \} = \IZ + i \IZ = \IZ[i] [/mm].
> Dann ist [mm]f(z) = \sum_{\omega \in \Lambda} \frac{1}{(z - \lambda)^3} [/mm].
>
> > Versuch das doch mal so:[/i][/mm]
>
> > Sei [mm]R > 0[/mm] beliebig vorgegeben. Zeige, dass du alle bis auf [/i][/mm]
> > endlich viele Summanden von [mm]f(z)[/mm] fuer [mm]z \in B_R(0) \setminus \Lambda[/mm]
> > unabhaengig von [mm]z[/mm] abschaetzen kannst. Und zwar versuchs
> > mit den Summanden, die zu [mm]\Lambda_R := \{ \lambda \in \Lambda \mid |\lambda| > 2 R \}[/mm]
> > gehoeren; d.h. du zeigst, dass [mm]\sum_{\omega \in \Lambda_R} \frac{1}{(z - \omega)^3}[/mm]
> > unabhaengig von [mm]z \in B_R(0)[/mm] nach oben beschraenkt ist.
>
> > Hinweis: Ueberleg dir mal, dass [mm]|z - \omega| \ge \frac{1}{2} |\omega|[/mm] [/i][/mm]
> > gilt.
>
> Das gilt doch deshalb, weil für [mm]z\in B_R(0), w\in \Lambda_R[/mm] [/i][/mm]
> gilt [mm]|z-w|\geq[/mm] R [mm][mm] \geq \bruch{1}{2}|\omega|.
[/mm]
Das letzte [mm] $\ge$ [/mm] stimmt nicht: $R < [mm] \frac{1}{2} |\omega|$! [/mm] Wenn du das ganze aufzeichnest, dann siehst du es. (Ansonsten benutze die andere Dreiecksungleichung $|z - [mm] \omega| \ge |\omega| [/mm] - |z|$ und benutze $|z| [mm] \le [/mm] R < [mm] \frac{1}{2} |\omega|$.)
[/mm]
> > Um dann abzuschliessen, musst du zeigen, dass [mm]\sum_{\omega \in \Lambda_R} \frac{1}{|\omega|^3}[/mm]
> > konvergiert. Dazu behilf dir doch mit folgendem Trick:
> > Betrachte die Majorante [mm]\sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{|m + i n|^3} [/mm],
> > finde eine Abschaetzung [mm]|m + i n| \ge K \cdot (|n| + |m|[/mm]
> > fuer alle [mm](n, m) \neq (0, 0)[/mm] (mit einer Konstanten [mm]K > 0 [/mm])
>
> Hab folgende Abschätzung gefunden: [mm]|m+in|\geq max(|m|,|n|)\geq \bruch{1}{2}(|m|+|n|).[/mm]
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt.
> > und ordne die Summe so um, dass du in der aeusseren Summe
> ueber [mm]k = |n| + |m|[/mm] summierst.
>
> Die Summe [mm]\sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{|m + i n|^3}[/mm]
> Majorantenkriterium also, wenn [mm]\sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{(|m|+|n|)^3}[/mm]
> konvergiert. Da es für alle [mm]k\in \IN[/mm] genau 2k Paare
Ich denke es sind $4 k$ Paare: Wenn du sie in [mm] $\IR^2$ [/mm] einzeichnest, formen sie eine Raute mit Eckpunkten $(0, [mm] \pm [/mm] k)$, [mm] $(\pm [/mm] k, 0)$. Aber das ist nur ein konstanter Faktor im restlichen Argument :)
> [mm](m,n)\neq[/mm] (0,0) gibt, so dass k = |n| + |m|, gilt
> [mm]\sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac{1}{(|m|+|n|)^3}=\sum_{k} \frac{2k}{k^3}= 2\sum_{k} \frac{1}{k^2}<\infty.[/mm]
Genau!
Sehr aehnlich geht man uebrigens vor, wenn man die Konvergenz der Weierstrassschen [mm] $\wp$-Funktion [/mm] zeigen will. (Nur das man am Anfang noch etwas mehr tricksen muss.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mo 21.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
danke, hab's jetzt verstanden. Das mit der Raute stimmt, so kann ich mir' gut vorstellen es sind 4k Paare...
Die Weierstrassschen $ [mm] \wp [/mm] $-Funktion hab ich gar nicht gekannt, hab mich jetzt in Wikipedia aber mal kundig gemacht... Ist ja interessant, dass meine Funktion ja [mm] -\frac{1}{2}\wp' [/mm] ist, denn [mm] \wp'(z)=-2\sum_{\lambda\in\Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}.
[/mm]
Lg Verena
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