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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz Folge mit Wurzel
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Konvergenz Folge mit Wurzel: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Do 11.02.2016
Autor: rsprsp

Aufgabe
Untersuchen Sie folgende Folgen auf konvergenz. Fall diese konvergiert, geben Sie den Grenzwert an!
[mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{2n^2+n-1} [/mm]
[mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] b_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{n^2+n-1} [/mm]


[mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{2n^2+n-1} [/mm]
[mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{2n^2+n-1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{2n^2-n+2-2n^2-n+1}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{-2n+3}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{2n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{-2n+3}{\wurzel{n^2(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{n^2(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}})} [/mm] = [mm] \bruch{-2n+3}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}})} [/mm] = [mm] \bruch{n(-2+\bruch{3}{n})}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm]
= [mm] \bruch{n(-2+\bruch{3}{n})}{n(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm]
= [mm] \bruch{(-2+\bruch{3}{n})}{\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm]

damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-2+\bruch{3}{n})}{\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{2\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{2}} [/mm]

D.h konvergent

[mm] b_n [/mm] := [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{n^2+n-1} [/mm] = [mm] \wurzel{2n^2-n+2}-\wurzel{n^2+n-1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{n^2+n-1}}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-2n+3}{\wurzel{2n^2-n+2}+\wurzel{n^2+n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-2n+3}{\wurzel{n^2(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{n^2(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{n\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+n\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{n(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm] = [mm] \bruch{n(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm]
damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(1-\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^3})}{(\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})})} [/mm] = [mm] \infty [/mm]

D.h. divergent


In der Aufgabe steht aber ich soll zuerst die Konvergenz beweisen, würde das irgendwie anders gehen oder habe ich es richtig gemacht?

        
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Hab es jetzt nicht nachgerechnet sieht aber gut aus!!
Die Konvergenz könntest du noch mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] nachweisen falls ihr das hattet!!

LG

Bezug
                
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

Also: Ist das jetze notwendig oder reicht wenn ich beweise,dass die eine einen Grenzwert besitzt und die eine nicht (bzw. aufgrund dessen die eine konvergiert und die andere nicht)

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Fr 12.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Deine Umformungen sind grundsätzlich richtig.

Dann: Du solltest dir mal klar machen, was du bei der Berechnung des Grenzwerts eigentlich tust. Formal benötigst du noch 1-2 Begründungen, warum du das machen darfst, was du tust.

Ist dir klar, mit welchem "Hilfsmittel" du den Grenzwert bestimmt hast.?
Also wie begründest du folgende Gleichheit, die du "so einfach" hingeschrieben hast?

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-2+\bruch{3}{n})}{\wurzel{(2-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^2})}+\wurzel{(2+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2})}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-2}{2\wurzel{2}} [/mm] $

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

Damit wende ich den Limes an für alle "Teilfolgen" und alle die "Teilfolgen" die ein n bzw [mm] n^2 [/mm] im Nenner haben laufen gegen Null, da wenn im Zähler wird nicht verändert ( Zahl als Zahl ist konstant) und der Nenner immer größer wird (n=1,2,3,4,..) wird die Teilfolge immer kleiner also läuft gegen Null.

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Fr 12.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Damit wende ich den Limes an für alle "Teilfolgen" und
> alle die "Teilfolgen" die ein n bzw [mm]n^2[/mm] im Nenner haben
> laufen gegen Null, da wenn im Zähler wird nicht verändert
> ( Zahl als Zahl ist konstant) und der Nenner immer größer
> wird (n=1,2,3,4,..) wird die Teilfolge immer kleiner also
> läuft gegen Null.

und warum darfst du das tun?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

Aufgrund dessen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 also wie ich es schon ober erklärt habe.

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Fr 12.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

schon mal was vom Begriff "Grenzwertsätze" gehört?
Hattet ihr bestimmt. Unter welchen Umständen darf man die anwenden?

Um dir die relevanz mal klar zu machen:

Offensichtlich ist:

[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 0 = 0$ und [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 1 = 1$

Aber es gilt auch: $0 = n-n$ und $1 = (1+n) - n$

Würde man die Grenzwertsätze nun immer anwenden können wäre einerseits ja:

$0 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 0 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (n-n) = [mm] \lim_{n\to\infty}n [/mm] - [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] n = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm]

Aber eben auch:

$1 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 1 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (1+n)-n = [mm] \lim_{n\to\infty}(1+n) [/mm] - [mm] \lim_{n\to\infty}n [/mm] = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm]

Und damit $0 = 1$.

Daher: Wann darfst du Grenzwertsätze anwenden?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

Leider nicht :) Bin eher einer der es praktisch lernt und sich nur für die Prüfung vorbereitet :D

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz Folge mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Fr 12.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Leider nicht :) Bin eher einer der es praktisch lernt und sich nur für die Prüfung vorbereitet :D

das ändert ja nichts an der Fragestellung, die übrigens auch in jeder Prüfung drankommen kann.

Wann ist [mm] $\lim_{n\to\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} a_n [/mm] + [mm] \lim_{n\to\infty} b_n$ [/mm]

Gruß,
Gono

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