Konvergenz Fresnel-Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 08.02.2005 | | Autor: | sieggie |
Hallo ich soll zeigen, dass das folgende Integral konvergiert:
[mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] {sin [mm] t^{2} [/mm] dt}
ich habe mir überlegt, dass man das über die summe :
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin [mm] t^{2}
[/mm]
erklären kann und dass [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin [mm] t^{2} [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin x für x = [mm] t^{2}
[/mm]
nun meine frage: wie kann ich beweisen, dass
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin x = 0 ist.
vielen dank im vorraus für eine hoffentlich schnelle hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 08.02.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> ch soll zeigen, dass das folgende Integral
> konvergiert:
>
> [mm]\integral_{0}^{ \infty} {sin t^{2} dt} [/mm]
sagt dir das dirichlet-kriterium etwas? damit sollte es funktionieren. substituiere zuerst [m] u = t^2 [/m] so erhälst du
[m] \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{u}} \, \mathrm{d}u [/m]
mache dir zuerst klar, dass das intervall [m] [0,1] [/m] keine probleme macht, da die funktion in $0$ stetig ergänzbar ist und zeige nun, dass das integral [m] \int_1^x \sin u \, \mathrm{d}u [/m] beschränkt ist (das geht durch einfache integration) und dass die funktion [m] \frac{1}{\sqrt{u}} [/m] monoton gegen null fällt (für [m] u \to \infty [/m]) jetzt sind die vorrausstzungen für das dirichlet-kriterium erfüllt!
> ich habe mir überlegt, dass man das über die summe :
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin [mm]t^{2}
[/mm]
>
> erklären kann
ich befürchte solche kriterien darf man nur bei monoton wachsenden oder fallenden funktionen anwenden, das ist hier aber ja nicht der fall...
> und dass [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin [mm]t^{2}[/mm] =
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin x für x = [mm]t^{2}
[/mm]
>
> nun meine frage: wie kann ich beweisen, dass
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin x = 0 ist.
bist du bei dieser aussage sicher? ich kann das zwar nicht beweisen, bin mit aber recht sicher, dass der reihenwert nicht $0$ ist! (der wert des oben genannten integrals ist [m] \sqrt{\frac{\pi}{8}} [/m] - was man mit etwas funktionentheorie berechnen kann ...)
hoffe das hilft dir erstmal weiter, wenn nicht kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Mi 09.02.2005 | | Autor: | sieggie |
Danke, hat mir schon ein wenig geholfen und mich von meinem falschen weg abgebracht.
mfg
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