Konvergenz/Funktionenreihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Do 05.01.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | | zeigen Sie, dass die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n(x-n)} [/mm] auf jeder beschränkten Menge M [mm] \subset \IR \\IN [/mm] normal konvergiert |
ich verstehe nicht wie die Reihe konvergieren kann.
Ich habe mir überlegt, dass auf für dasoffene Intervall (1,2), das ja beschränkt ist die Norm von [mm] f_n [/mm] für n=1 doch schon [mm] \infty [/mm] ist
[mm] f_1 [/mm] wäre doch die Funktion [mm] \bruch{1}{(x-1)} [/mm] und die geht für n-->1 gegen [mm] -\infty [/mm] also wäre die Norm von [mm] f_1 [/mm] doch [mm] \infty [/mm] aber dann würde meine Summe doch schon im ersten term mit [mm] \infty [/mm] beginnen und alle weiteren summanten wären ja positiv wie soll die Reihe denn dan konvergieren?
würde mich sehr freuen wenn ihr mir meinen Denkfehler aufzeigen könntet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> zeigen Sie, dass die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n(x-n)}[/mm]
> auf jeder beschränkten Menge M [mm]\subset \IR \\IN[/mm] normal
> konvergiert
> ich verstehe nicht wie die Reihe konvergieren kann.
> Ich habe mir überlegt, dass auf für dasoffene Intervall
> (1,2), das ja beschränkt ist die Norm von [mm]f_n[/mm] für n=1 doch
> schon [mm]\infty[/mm] ist
> [mm]f_1[/mm] wäre doch die Funktion [mm]\bruch{1}{(x-1)}[/mm] und die geht
> für n-->1 gegen [mm]-\infty[/mm] also wäre die Norm von [mm]f_1[/mm] doch
> [mm]\infty[/mm] aber dann würde meine Summe doch schon im ersten
> term mit [mm]\infty[/mm] beginnen und alle weiteren summanten wären
> ja positiv wie soll die Reihe denn dan konvergieren?
Schau dir doch mal die Definition von normal konvergent an: Seien $I$ ein Intervall, [mm] $f_n [/mm] : I [mm] \to \IR$ [/mm] Funktionen und $f := [mm] \sum_{n=1}^\infty f_n$. [/mm] Dann heisst $f$ normal konvergent auf $I$, wenn es zu jedem $x [mm] \in [/mm] I$ eine Umgebung $U = U(x)$ von $x$ in $I$ gibt so, dass es eine konvergente Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] gibt mit [mm] $|f_n(x')| [/mm] < [mm] a_n$ [/mm] fuer alle $x' [mm] \in [/mm] U$.
Das heisst: Du musst zu jedem $x [mm] \in [/mm] M$ eine passende Umgebung $U$ finden, auf der alle [mm] $\left|\frac{1}{n (n - x')}\right|$, [/mm] $x' [mm] \in [/mm] U$ durch die Koeffizienten einer konvergenten Reihe nach oben abgeschaetzt werden.
Wenn du nur eine Umgebung angibst, wo das nicht funktioniert, heisst das noch lange nicht, dass so eine Reihe nicht normal konvergiert: Wenn schon dann musst du es fuer alle Ungebungen eines Punktes zeigen. Du musst also eine andere Umgebung waehlen als die angegebene.
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Fr 06.01.2006 | | Autor: | neli |
aber zu zeigen ist doch das sie auf jeder beschränkten menge normal konvergiert also würde doch ein Gegenbeispiel reichen
aber danke erst mal für den Tip diese Deffinition kannte ich gar nicht hatte das so verstanden das die Summe über die Normen der Funktion (also deren Maximum bzw Minimum (jenachdem was betragsmäßig größer ist) konvergieren soll
habe mir dazu mal eine Skizze gemacht und auf der ist der linksseitige Limes der Funktionen für x->n immer - [mm] \infty [/mm] und der rechtsseitige [mm] +\infty [/mm] aber die beliebige beschränkte 'Menge aus [mm] IR\IN [/mm] kommt doch beliebig nah an diese Punkte aus IN ran also sind die Funktionswerte in der Nähe doch auch schon unbeschränkt oder nicht? wie finde ich also für ein x nahe einem n eine Umgebung so dass das ganze noch beschränkt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> aber zu zeigen ist doch das sie auf jeder beschränkten
> menge normal konvergiert also würde doch ein Gegenbeispiel
> reichen
Wenn das bei euch so definiert ist, ja.
> aber danke erst mal für den Tip diese Deffinition kannte
> ich gar nicht hatte das so verstanden das die Summe über
> die Normen der Funktion (also deren Maximum bzw Minimum
> (jenachdem was betragsmäßig größer ist) konvergieren soll
Schreib mal am besten genau eure Definition von 'normal konvergent' hier rein!
> habe mir dazu mal eine Skizze gemacht und auf der ist der
> linksseitige Limes der Funktionen für x->n immer - [mm]\infty[/mm]
> und der rechtsseitige [mm]+\infty[/mm] aber die beliebige
> beschränkte 'Menge aus [mm]IR\IN[/mm] kommt doch beliebig nah an
> diese Punkte aus IN ran also sind die Funktionswerte in der
> Nähe doch auch schon unbeschränkt oder nicht?
Ja, sind sie.
> wie finde ich
> also für ein x nahe einem n eine Umgebung so dass das ganze
> noch beschränkt ist?
Nun, du waehlst die Umgebung so dass die Umgebung genug Abstand zu den Punkten aus [mm] $\IN$ [/mm] hat. Als Beispiel mal die Stetigkeit der Funktion $f(x) = 1/x$: Wenn du dir ein $a > 0$ beliebig vorgibst und ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so gibt es immer eine Umgebung $U = U(a)$ von $a$ so, dass fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$ gilt $|f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon$. [/mm] Und zwar egal wie nah $a$ an $0$ dran liegt.
Bei normal konvergent ist es so aehnlich: du musst halt etwas Abstand halten, dann gehts.
HTH & LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Fr 06.01.2006 | | Autor: | neli |
Also normal konvergent ist definiert als:
[mm] \summe_{i=o}^{\infty}f_i [/mm] heißt normal konvergent, falls : [mm] \summe_{i=0}^{\infty}||f_i|| [/mm] < [mm] \infty [/mm]
wobei ||f||:= sup{|f(x)|, x [mm] \in [/mm] M }
aber wie finde ich den für das x, das direkt neben n liegt so eine Umgebung? (anschaulich)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 08.01.2006 | | Autor: | neli |
muss ich eigentlich eine konkrete Reihe und Umgebung angeben oder muss ich irgendwie theoretisch zeigen dass es eine gibt egal wie die aussehen mag?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
Zu der Definition: Was ist $M$? Wenn $M$ der Definitionsbereich von den [mm] $f_i$ [/mm] ist, dann ist die Aufgabe falsch, da es wie du schon gesagt hast viele solche $M$ gibt auf denen die Summanden unbeschraenkt sind.
> muss ich eigentlich eine konkrete Reihe und Umgebung
> angeben oder muss ich irgendwie theoretisch zeigen dass es
> eine gibt egal wie die aussehen mag?
Du kannst sowohl konkret eine angeben als auch beweisen das es eine gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 08.01.2006 | | Autor: | neli |
Würde sagen dass M der Definitionsbereich ist
also in der Definition ist m der Definitionsbereich
und bei der Aufgabe würde ich dass auch so verstehen
heißt dass ich kann einfach mein Beispiel von ganz am Anfang nehmen und sagen die Reihe konvergirt da nicht normal und somit ist die Aufgabe falsch?
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