Konvergenz & Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 29.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Hiho,
ich hab' ne Frage zu folgender Aufgabe:
[mm] a_{n} [/mm] = (1 + [mm] n)(\wurzel{n + 1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})
[/mm]
Man soll schauen ob's konvergiert, wenn ja, Grenzwert bestimmen für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Mir fehlt jetzt einfach der geniale Trick um zu zeigen, dass (n + 1) schneller wächst, als [mm] \wurzel{n + 1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] (was ja gegen 0 konvergiert - ist ja nich' schwer zu zeigen!) fällt.
Es kann doch nicht sooooo unfassbar schwer sein...mann, ich sitz' aber auch auf 'ner Leitung...
Merci
Gruß Salomon
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Hallo...
Vllt hilft dir das weiter...
erweitere mal mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n}
[/mm]
[mm] a_n=\br{1+n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] und jetzt noch ein wenig abschätzen (Nenner [mm] 2\wurzel{n}) [/mm] und mal den Bruch ausrechnen...)
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Do 29.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Ich bekomme nur Stuß heraus!
Die Umformung hatte ich am Anfang auch schon, abgeschätzt hatte ich auch mit gefühlten 2Mio. Sachen - aber im Endeffekt kann ich nicht eindeutig sagen, was für einen Grenzwert das Teil hat (im Gegenteil, ich bekomme immer mehr katastrophale Grenzwertungetüme...)
Du sagst mit [mm] \bruch{1}{2\wurzel{n}} [/mm] abschätzen, anschließend mit dem Bruch verwursteln; und dann bekäme man die Erleuchtung...Bei mir bleibt's irgendwie aus!
Kannste mir vielleicht deine Schritte mal aufzählen?
Grüßlis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Salomon!
$$ [mm] a_n [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \br{1+n}{\wurzel{n+1}+\red{\wurzel{n}}} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \br{1+n}{\wurzel{n+1}+\red{\wurzel{n+1}}} [/mm] \ = \ [mm] \br{n+1}{2*\wurzel{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \br{\wurzel{n+1}}{2} [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Do 29.11.2007 | | Autor: | Salomon |
..das ist dann wohl sehr einfach gewesen; bin etwas zerknirscht, dass ich DA nicht selbst drauf gekommen bin!
Kann ich's denn eigentlich auch so lösen:
(Ich schätze nach unten UND nach oben ab - dann zeige ich, dass der Grenzwert der Unten/Oben-Abschätzung gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert [mm] \rightarrow [/mm] demnach muss auch [mm] a_{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konv.
Also: (nach Umformen) [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{n} [/mm] < [mm] \bruch{1 + n} {\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}} [/mm] < [mm] \wurzel{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} \wurzel{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Demnach muss [mm] \bruch{1 + n} {\wurzel{n + 1} + \wurzel{n}} \rightarrow \infty.
[/mm]
Ist das ein mittelschweres Verbrechen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Salomon!
Wenn Du bereits gegen eine divergente Folge wie [mm] $\bruch{1}{2}*\wurzel{n}$ [/mm] abschätzt, benötigst Du keine Majorante mehr.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 29.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Haha, jetzt haste mich aber komplett verwirrt...
Seit wann ist 0,5 * [mm] \wurzel{n} [/mm] eine divergente Folge, wenn n [mm] \in \IN....
[/mm]
Wenn es eine div. Folge wäre, hätte ich oben unsinnigen, überflüssigen Quatsch gemacht, ja, da geb ich dir Recht!
Danke & Gruß...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 29.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Loddar hat auf deine obere Beschränkug sicher gar nicht geachtet. die ist auch so falsch was soll denn x hier sein?
Aber ne div. Folge nach oben abzuschätzen ist ja uch ziemlich sinnlos.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Salomon!
Die Wurzel-Funktion ist doch unbeschränkt; d.h. die Funktion wächst über alle Schranken. Damit ist [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] \wurzel{n}$ [/mm] auch divergent.
Gruß
Loddar
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