Konvergenz/ Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert:
(i) [mm] a_n:= \bruch{n^3-5}{n^4+6} [/mm]
(ii) [mm] b_n:= \bruch{1}{n+8} (\summe_{i=2}^{n} [/mm] i) [mm] -\bruch{n}{2} [/mm]
(iii) [mm] c_n:= \wurzel{n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
(iv) [mm] d_n:= x^n, x\in [/mm] (0,1)
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Hallo,
zunächst mal eine grundsätzliche Frage zur Aufgabenstellung:
Ich muss doch vor der Konvergenz-Bestimmung immer den Grenzwert bestimmen, es sei denn die Folge ist monoton, oder?
Also dann zur ersten Aufgabe. Ich weiss ja, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da der Wert des Quotienten immer kleiner wird.
Also nehme ich schon mal an, dass [mm] \varepsilon>0. [/mm] Ich muss ja jetzt ein [mm] n_0 [/mm] finden, so dass [mm] a_n [/mm] für [mm] n>n_0 [/mm] weniger als [mm] \varepsilon [/mm] von 0 entfernt ist. Stimmts?
Ich weiss aber nicht wie ich das mathematisch korrekt beweisen soll.
Ich danke Euch sehr für Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also die Definition aus der Vorlesung war ja, dass für die Folgen aus [mm] \IR [/mm] gilt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a(Stern) [/mm] konvergent ist, wenn folgendes gilt:
[mm] \vmat{ an - a(Stern)} <\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge N_\varepsilon.
[/mm]
Wenn ich das auf die erste Aufgabe übertrage, erhalte ich ja folgendes:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann gibt es ein [mm] N_\varepsilon \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge N_\varepsilon.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \vmat{\bruch{n^3-5}{n^4+6} -0} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn ich im Betrag die [mm] n^3 [/mm] wegkürze, erhalte ich ja [mm] \bruch{-5}{n+6}. [/mm] Bringt mich das schon einen Schritt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Sa 07.11.2009 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
also so kürzt man eigentlich nicht :)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3-5}{n^4+6}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{5}{n^3}}{n+\bruch{6}{n^3}}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{5}{n^3})}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+\bruch{6}{n^3})}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} 1-\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{n^3}}{\limes_{n\rightarrow\infty} n+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{n^3}}=\bruch{1-0}{\infty+0}=0
[/mm]
Gruß
DerGraf
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Hallo, sorry, aber wo kommt denn auf einmal die 1 her und wie kommst Du damit auf [mm] \bruch{5}{n^3} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Sa 07.11.2009 | | Autor: | DerGraf |
Ich habe einfach die [mm] n^3 [/mm] gekürzt.
Gruß
DerGraf
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Ups sorry, dumme Frage.
Danke 
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> zunächst mal eine grundsätzliche Frage zur
> Aufgabenstellung:
>
> Ich muss doch vor der Konvergenz-Bestimmung immer den
> Grenzwert bestimmen, es sei denn die Folge ist monoton,
> oder?
mal nur zu dieser Frage:
Die Frage, ob eine Folge konvergent sei oder
nicht, kann man oft beantworten, ohne den Grenz-
wert überhaupt zu kennen oder zu berechnen.
So genügt z.B. der Nachweis, dass eine Folge monoton
und beschränkt ist, um sagen zu können, dass die
Folge einen Grenzwert haben muss. Die eigentliche
Bestimmung des Grenzwerts ist unter Umständen
deutlich schwieriger als ein solcher Existenzbeweis.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonnenschein!
Kennst Du denn die  Grenzwertsätze und darfst diese verwenden?
zu Aufgabe (i)
Klammere in Zähler und Nenner [mm] $n^4$ [/mm] aus.
zu Aufgabe (ii)
Verwende die Summenformel ("kleiner Gauß") und fasse den Term zusammen.
zu Aufgabe (iii)
Erweitere den Term mit [mm] $(\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] .
zu Aufgabe (iv)
Denke mal an die geometrische Folge.
Gruß
Loddar
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Hallo, also wir hatten folgendes Lemma:
Falls a gegen a* konvergiert, und b gegen b* konvergiert, dann konvergiert a+b gegen a*+b*, und ab gegen a*b*.
Das sind doch die Grenzwertsätze, oder?
Dann hatten wir das schon.
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonnenschein!
Genau diese meinte ich ...
Gruß
Loddar
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Hallo lodder,
sorry, aber ich erkenne den Zusammenhang nicht. Ich habe doch hier nur eine Folge.
Und mit dem Ausklammern des [mm] n^4 [/mm] komme ich auch nicht weiter :-(
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Also nochmal von vorne, bei (i) ist es doch so:
Die Folge ist konvergent und der Grenzwert ist die 0.
Was muss ich als erstes tun, um das zu beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ganz langsam:
ich kalmmer in Zaähle UND Nenner die höchste Potenz von allen aus:
[mm] \bruch{n^3-5}{n^4+6}=\bruch{n^4*(1/n^2-5/n^4)}{n^4*(1+6/n^4)}=\bruch{1/n^2-5/n^4}{1+6/n^4}
[/mm]
jetzt verwend ich den GWS für die Multiplikation oder Division:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1/n^2-5/n^4)=0 [/mm] weil sSumme von 2 Nullfolgen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+6/n^4)=1 [/mm]
deshalb ist dann insgesamt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3-5}{n^4+6}=\bruch{0}{1}=0
[/mm]
Statt das so einzeln zu schreiben, kann man es gleich in ner Kette schreiben.
zu b: die Summe ausrechnen, von n=1 an kannst du das sicher, dann noch die 1 abziehen, die du dabei zuviel hast. dann alles zu einem Bruch und untersuchen.
zuc) da gibts nen Trick: man erweitert mit [mm] \bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
(3. binomische Formel) dann wirds einfacher.
Bei der letzten brauchst du deine [mm] \epsilon [/mm] N Methode und musst ein N das aber abhängig von x und [mm] \epsilon [/mm] finden.
Gruss leduart
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Okay, vielen Dank.
Ich glaub ich habe die (i) jetzt verstanden. Ganz herzlichen Dank fürs Erklären.
Also muss ich zeigen, dass 0 dabei rauskommt. Und damit habe ich dann schon gleichzeitig bewiesen, dass die Summe immer kleiner wird ( also die Konvergenz gegeben ist) und dass diese auch einen Grenzwert hat, da sie irgendwann eine 0 ist?
Meine erste Idee war ja erstmal kürzen, und so wie DerGraf das vorgerechnet hatte kam ja am Ende [mm] \bruch{1}{\infty}=0 [/mm] raus.
Das kommt ja dann aufs gleiche raus? Nur bei Deiner Version kann ich dann den GWS benutzen, stimmts?
Bzgl. der Anwendung des GWS werden also die Bestandteile vom Zähler als einzelne Folgen betrachtet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die GWS anwendest hast du die Konvergenz selbst (alle benutzten Teilfolgen konv.) und die 0 als GW gleichzeitig.
Meine Methode ist besser, weil man dann 2 endliche GW hat und das mit [mm] 0/\infty [/mm] zwar richtig ist aber unschön, richtig üsste man das dann als Produkt von 2 Folgen schreiben, die beide gegen 0 konvergieren. das andere ist so ne Art schlampige Kurzschreibweise dafür.
Anfangs ist es immer besser man weiss genau, wo man welche Sätze verwendet, und das geht, wenn man bei Brüchen mit nhoch.. arbeitet immer am besten, wenn man die höchste Potenz ausklammert.
Gruss leduart
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Ganz ganz herzlichen Dank schon mal leduart für Deine Mühen. Jetzt mache ich mich mal an die anderen Aufgaben. Vielen Dank für Deine Tipps.
Viele Grüsse
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Hallo,
bitte könnt ihr mal gucken, ob ich die (ii) korrekt gemacht habe?
[mm] b_n:= \bruch{1}{n+8} (\summe_{i=2}^{n}i)-\bruch{n}{2}
[/mm]
n=1
Also darf ich für n irgendeine natürliche Zahl einsetzen, und so weitermachen?
[mm] \bruch{1}{9}*(2)-\bruch{1}{2}=-\bruch{5}{18}
[/mm]
Somit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+8}(\summe_{i=2}^{n}i)-\bruch{n}{2}
[/mm]
ist konvergent und der Grenzwert liegt bei - [mm] \bruch{5}{18}?
[/mm]
Vielen Dank
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> Hallo,
>
> bitte könnt ihr mal gucken, ob ich die (ii) korrekt
> gemacht habe?
>
> [mm]b_n:= \bruch{1}{n+8} (\summe_{i=2}^{n}i)-\bruch{n}{2}[/mm]
>
> n=1
>
> Also darf ich für n irgendeine natürliche Zahl einsetzen,
> und so weitermachen?
>
>
> [mm]\bruch{1}{9}*(2)-\bruch{1}{2}=-\bruch{5}{18}[/mm]
>
> Somit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+8}(\summe_{i=2}^{n}i)-\bruch{n}{2}[/mm]
>
> ist konvergent und der Grenzwert liegt bei -
> [mm]\bruch{5}{18}?[/mm]
>
> Vielen Dank
hallo, oben kam doch schon der hinweis, den kleinen gauß zu verwenden:
[mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}2
[/mm]
da du aber
[mm] \sum_{i=2}^n [/mm] i
hast, musst du den index einen runtersetzen, und zum ausgleich 1 abziehen:
[mm] \sum_{i=2}^n [/mm] i = [mm] (\sum_{i=1}^n [/mm] i)-1 = [mm] \frac{n(n+1)}2 [/mm] -1
diesen ausdruck setzt du nun für das summenzeichen oben ein, bringst alle terme auf einen bruchstrich, kürzt evtl und kannst dann den grenzübergang machen
mfg tee
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Dann also so:
[mm] \bruch{1}{9}* (\bruch{1(1+1)}{2}-1)-\bruch{1}{2}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Lösung: Die Folge ist konvergent und der Grenzwert liegt bei [mm] -\bruch{1}{2}?
[/mm]
Vielen Dank.
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> Dann also so:
>
> [mm]\bruch{1}{9}* (\bruch{1(1+1)}{2}-1)-\bruch{1}{2}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Die Lösung: Die Folge ist konvergent und der Grenzwert
> liegt bei [mm]-\bruch{1}{2}?[/mm]
>
> Vielen Dank.
warum stehen da überall zahlen? normal solltest du doch n gegen unendlich laufen lassen?
poste mal deine rechnung, ich hab -7/2 raus
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[mm] \bruch{1}{n+8}*(\bruch{n(n+1)}{2}-1)-\bruch{n}{2}
[/mm]
Und hier hatte ich auch für n=1 eingesetzt, und kam so auf die [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{n+8}*(\bruch{n(n+1)}{2}-1)-\bruch{n}{2}[/mm]
>
> Und hier hatte ich auch für n=1 eingesetzt, und kam so auf
> die [mm]-\bruch{1}{2}.[/mm]
>
>
mh ja schon, aber eigentlich interessiert doch, der grenzwert, also n gegen [mm] \infty [/mm] und nicht n=1?
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Ja, ich weiss. Du hast ja auch recht. Weil ich ja bei der Summenformel auch n=1 eingesetzt hatte. Also darf ich das nur da, ja?
Komme grad'nicht weiter... :-(
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> Ja, ich weiss. Du hast ja auch recht. Weil ich ja bei der
> Summenformel auch n=1 eingesetzt hatte. Also darf ich das
> nur da, ja?
>
> Komme grad'nicht weiter... :-(
du hattest doch nun herausgefunden:
$ [mm] \bruch{1}{n+8}\cdot{}(\bruch{n(n+1)}{2}-1)-\bruch{n}{2} [/mm] $ ist dasselbe wie deine ausgangs"funktion", nur mit aufgelöstem summenzeichen.
da du nun ja noch den grenzwert möchtest (also [mm] n->\infty) [/mm] musst du
$ [mm] \bruch{1}{n+8}\cdot{}(\bruch{n(n+1)}{2}-1)-\bruch{n}{2} [/mm] $ ausmultiplizieren und alles auf einen bruch bringen, und dann den gw-übergang machen
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Hallo,
also bei der (ii) habe ich jetzt [mm] -\bruch{7}{2} n-\bruch{1}{8} [/mm] raus.
Somit konvergiert (ii) also gegen [mm] -\infty [/mm] ?
Und bei der (iii) habe ich wie es empfohlen wurde mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] erweitert und anschließend nun:
[mm] \bruch{(\wurzel{n+1})^2-(\wurzel{n})^2}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] erhalten, egal was ich mache, ich komme auf den Ursprungsterm zurück.
Ich komme da leider nicht weiter.
Und bei der (iv) weiss ich leider auch nicht, wie ich die geometrische Folge darauf anwenden kann.
Ich danke Euch für Eure Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn ne folge gegen [mm] \pm \infty [/mm] geht, sagt man nicht mehr konvergiert, sondern die Folge ist divergent, oder auch bestimmt divergent.
2. Wurzeln im Quadrat was gibt das? rechne den Zähler aus.
Gruss leduart
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Ach so, ja klar sorry. Da mit zunehmender Größe von n die Folge immer mehr ins - [mm] \infty [/mm] geht, ist sie natürlich divergent und hat somit keinen Grenzwert. Dafür schon mal ganz herzlichen Dank.
Dann die (iii); jetzt haben Deine Tipps gefruchtet, klar, das ist auch eine Nullfolge, weil im Zähler nur eine Eins stehen bleibt und im Nenner was mit n.
Echt super. Danke.
Aber die (iv) bereitet mir immer noch Unbehagen.
Also meine erste Idee wäre ja dazu gewesen, dass sie divergent ist, da sie ins [mm] +\infty [/mm] wachsen würde. Da aber [mm] x\in(0,1) [/mm] kann sie ja höchstens zur 1 und zurück zur 0 etc.
Somit wäre sie also doch konvergent, und der Grenzwert wäre eins, stimmts? Oder ist es eben deshalb auch divergent, weil es keine Entwicklung gibt?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ne Zahl kleiner 1 hoch 10 oder hoch 100 oder hoch 1000 nimmst was passiert? und für eine Folge hast du ja nur ein festes x.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
dann nähert sich mit zunehmendem n das Produkt der 1. Jetzt habe ich, wie Du es empfohlen hast, versucht hier jetzt die geometrische Folge anzuwenden. Aber das q geht ja da immer mehr gegen 1.
Also alles in allem, kann ja [mm] x^n [/mm] nur die 1 erreichen. Also liegt der Grenzwert bei 1?
Wenn ja, wie jetzt das beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist (1/2)^100 wieso nähert sich das 1?
ich hab nicht von geometrischer Folge geredet, meinst du damit die Folge [mm] q^n [/mm] mit q<1 dann ja.
aber irgendwo bist du auf dem falschen Gleis.
Du hast ein FESTES x es ist garantiert nicht 0 und garantiert nicht 1 sondern dazwischen.
So, wenn du so wenig Erfahrung hast ann nimm deinen TR und rechne [mm] 0.5^{10} 0.5^{20} 0.5^{100} [/mm] dasselbe mit 0.9 und dann mit noch ner Zahl zwischen 0 und 1.
noch mal, das x oder q geht nicht, das ist fest.
aber damit du das nicht für 10000 Zahlen zwischen 0 und 1 machen musst geben wir der festen Zahl halt einen Namen. wenn dich x irritiert schreib x=q und rechne damit.
Gruss leduart
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Ups, sorry, habe mich eben ganz böse verrechnet.
Nee, ist natürlich auch eine Nullfolge.
Und das mit dem Hinweis mit der geom. Folge kam von lodder und nicht von Dir. Da habe ich mich wohl vertan. Sorry.
So, jetzt zum Beweis dieser Folge. Von Dir kam ja der Hinweis mit der [mm] \varepsilon-N-Methode.
[/mm]
Jetzt will ich mal meine Gedanken sortieren:
Wie siehts hiermit aus?
" Sei [mm] \varepsilon>0, [/mm] dann gibt es ein [mm] N_\varepsilon \in \IN, [/mm] so dass gilt:
[mm] \vmat{d_n - 0}<\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] N\geN_\varepsilon.
[/mm]
Die Folge konvergiert gegen 0, weil...? (Ja und wie könnte ich jetzt die Sache mit dem für jedes x zwischen 0 und 1 [mm] \to [/mm] 0 mathematisch korrekt formulieren?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mo 09.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nur einfach ein n suchen mit [mm] x^n<\epsilon- [/mm] wie wärs mit logarithmieren, dann enk dran ln oder log von Zahlen kleiner 1 sind negativ. für [mm] \epsilon [/mm] >1 hast du einfach n=1 also nur [mm] \epsilon> [/mm] 1.
Um auf so ein Ergebnis zu kommen stell dir immer was konkretes erstmal vor. z. Bsp x=0.9 und [mm] \epsilon=0.01
[/mm]
wie findest du jetzt ein n ohne einfach nur mit dem TR auszuprobieren!
Und nun los
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 08.11.2009 | | Autor: | jales |
Hallo Leduart,
eine Frage zu Aufgabenteil (iv). Diese Reihe konvergiert ja gegen 0, für x [mm] \in [/mm] (0,1) n [mm] \ge [/mm] 0.
Du sagtest, man müsse hier nun die "$ [mm] \epsilon [/mm] $ N Methode" anwenden, also :
| [mm] x^n [/mm] |< [mm] \varepsilon. [/mm]
Wie stelle ich das nun an, ein N zu finden, dass in Abhänigkeit zu [mm] \varepsilon [/mm] und x steht ? Bisher dachte ich, dass es reicht, ein N beliebig zu wählen, so dass es passt.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was heisst N beliebig wählen denn für dich?
etwa x=0.9 [mm] \epsilon=10^{-10} [/mm] wie gibst du ein N an, oder fürx=0.999 usw. Wenn du ne Methode hast mir das N zu jedem von mir gewählten x und [mm] \epsilon [/mm] zu sagen, dann hast du gewonnwn!
Dann kannst du ja auch das Verfahren hinschreiben, wie dus findest. das ist dann [mm] N(\epsilon,x)
[/mm]
Gruss leduart
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n > [mm] \frac{ln(\epsilon)}{ln(x)}
[/mm]
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