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Konvergenz Jacobi Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 27.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Ist A irreduzibel und diagonaldominant, so sind Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren durchführbar und konvergent, das heißt [mm] M^J [/mm] und [mm] M^{GS} [/mm] sind wohldefiniert und erfüllen [mm] p(M^J)<1 [/mm] und [mm] p(M^{GS})<1. [/mm]

Beweis: (für Jacobi)
Nach dem vorigen Lemma (M irreduzibel und diagonaldominant [mm] \Rightarrow [/mm] M ist regulär mit [mm] m_{ii} \not= [/mm] 0 mit i=1,...,n.) gilt [mm] a_{ii} \not= [/mm] 0 (i=1,...,n) und somit ist [mm] M^J=-D^{-1}(A-D) [/mm] wohldefiniert.
Wir zeigen, dass [mm] M^J- \mu I_n [/mm] für alle [mm] \mu \in \IC [/mm] mit [mm] |\mu| \ge [/mm] 1 regulär ist, sodass [mm] p(M^J)<1. [/mm]
Da Irreduzibilität unabhängig ist von den Diagonalelementen einer Matrix sind mit A auch A-D und [mm] M^J [/mm] sowie [mm] M=M^J- \mu I_n [/mm] irreduzibel.
Mit der Diagonaldominanz von A folgt für i=1,...,n, dass:
[mm] \summe_{j=1,...,n; j \not= i} |m_{ij}| = \summe_{j=1,...,n; j \not= i} |m_{ij}^J| = \summe_{j=1,...,n; j \not= i} \bruch{|a_{ij}}{|a_{ii}}| \le 1 \le | \mu | = |m_{ii}| [/mm], wobei die Ungleichung strikt ist für ein [mm] i_0 \in [/mm] {1,...,n}.
Folglich ist M diagonaldominant für jedes [mm] \mu \in \IC [/mm] mit [mm] |\mu| \ge [/mm] 1 undzusammen mit der Irreduzibilität folgt die Regularität von M.

Hallo!

Ich habe hier nur den Beweis für das Jacobi-Verfahren hingeschrieben, da die Sache, die mir unklar ist, direkt auf den Beweis für das Gauß-Seidel-Verfahren übertragbar ist.
Und zwar sind mir zwar die einzelnen Schritte klar, aber eine Argumentation nicht:

Wir wollen zeigen, dass [mm] p(M^J)<1, [/mm] da dann das Jacobi-Verfahren eine Kontraktion beschreibt, wodurch es gegen einen Fixpunkt konvergiert, der dann die Lösung ist. Oder? Aber warum folgt aus der Regularität von [mm] M=M^J - \mu I_n [/mm], dass [mm] p(M^J)<1? [/mm]

Kann mir das jemand erklären?
Liebe Grüße,
Lily

        
Bezug
Konvergenz Jacobi Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Mi 27.07.2016
Autor: hippias

Wenn [mm] $M^{J}-\mu$ [/mm] für alle [mm] $|\mu|\geq [/mm] 1$ regulär ist, dann hat [mm] $M^{J}$ [/mm] nur Eigenwerte mit Betrag $<1$.

Bezug
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