Konvergenz&Konstruktion Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mo 15.01.2007 | | Autor: | gabi114 |
| Aufgabe | a) Sei [mm] a\in \IN [/mm] , a>1 und [mm] (\alpha_n)_\in_\IN [/mm] eine Folge natürlicher Zahlen mit [mm] 0<=\alpha<=n.
[/mm]
Man zeige, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_n a^{-n} [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert.
b) Man konstruiere zu einem beliebigen [mm] x\in [/mm] [0,1] eine Reihe wie in a) mit x= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_n a^{-n} [/mm] .
(Man gebe eine rekursive Definition einer geeigneten Folge [mm] (\alpha)_n_\IN [/mm] und beweise damit die Gleichung x= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_n a^{-n} [/mm]
c) Man formuliere und beweise eine Aussage zur Eindeutigkeit der Darstellung in b). |
Hallo Kollegen,
habe heute erfahren, dass meine Brechnungen zu der Aufgabe sehr falsch sind...Wäre supi, wenn mir zumindest jemand bei b und c weiterhelfen könnte????????
Danke schön
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
die Aufgabe wurde hier
schon so gestellt, wie sie bei Dir steht.
In einem der folgenden Posts teilt die Studentin mit, daß es sich bei ihnen die Aufgabenstellung korrigiert wurde zu 0 [mm] \le a_n [/mm] < a,
was mir sehr wahrscheinlich erscheint ("a-adische Brüche", oft als b-adische Brüche in Büchern).
Überprüfe das nochmal, bevor Du möglicherweise das Falsche bearbeitest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 15.01.2007 | | Autor: | gabi114 |
Danke dir Angela!! Da haste recht. Allerdings hatte ich 4 a) auch schon mit der Korrektur bearbeitet und bin dann an b) und c) gescheitert
Schönen Gruß
Gabi
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> Danke dir Angela!! Da haste recht. Allerdings hatte ich 4
> a) auch schon mit der Korrektur bearbeitet
Jetzt bin ich aber echt verblüfft: warum stellst Du die Aufgabe dann in der verkehrten Version hier ein?
Gruß v. Angela
und bin dann an
> b) und c) gescheitert
> Schönen Gruß
>
> Gabi
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Hallo,
zu a.
unter Beachtung von a<1 und [mm] 0\le a_n [/mm] < a kannst du [mm] a_na^{-n} [/mm] nach oben abschätzen und mit dem Majorantenkriterium auf die Konvergenz schließen.
zu b.
Zunächst solltest Du Dir klarmachen, das es die Verallgemeinerung der Tatsache ist, daß man jede reelle Zahl als Dezimalbruch schreiben kann.
Von diesem speziellen Fall mit a=10 kann man sich auch beim Finden der Rekursion anregen lassen.
Wie findet man z.B. die Dezimalstellen von [mm] \bruch{1}{8}?
[/mm]
[mm] \bruch{1}{10^1}\le \bruch{1}{8}<\bruch{2}{10^1}, [/mm] also [mm] \bruch{1}{8}=0,1...
[/mm]
[mm] \bruch{2}{10^2}\le \bruch{1}{8}-\bruch{1}{10^1}< \bruch{3}{10^2}, [/mm] also [mm] \bruch{1}{8}=0,12...
[/mm]
[mm] \bruch{5}{10^3} \le [/mm] ...
Wenn Du das mit a=10 noch für einen anderen Bruch gemacht hast, wirst Du eine Idee haben, wie es für a läuft.
Zu c.
Hier soll man entscheiden, ob die Darstellung von x als a-adischer Bruch eindeutig ist.
Ist sie es? Ich erinnere an [mm] 0,\overline{9}
[/mm]
Gruß v. Angela
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