Konvergenz Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Sa 15.07.2006 | | Autor: | nathenatiker |
| Aufgabe 1 | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{ \wurzel{2n}} (x-2)^{n} [/mm] ? |
| Aufgabe 2 | | Für welche x [mm] \in \IC [/mm] konvergiert die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{e^{n}}{ n^{2}-i} (x-3+4*i)^{n} [/mm] ? |
Hallo,
also, zu Aufgabe 1)
Da habe zuerst den Konvergenzradius berechnet und habe R = 1, da
R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2n}}{\wurzel{2n+1}} [/mm] =1.
Dann ist das Konvergenzintervall (1,3).
Nach Untersuchung der Intervallgrenzen gilt, die Reihe konvergiert für 1 und divergiert für 3, also konvergiert die Reihe für x [mm] \varepsilon [/mm] [1,3).
Kann man das so machen bzw ist das so richtig??
Bei Aufgabe 2 bin ich zu keiner Lösung gekommen. ich habe versucht , den Konvergenzradius zu berechen, bin da aber gescheitert.
kann mir da jemand einen Tipp geben????
MFG
nathenatiker
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Hallo,
zu 1) die Ergebnisse habe ich auch raus, jedoch ist dir ein Fehler beim Berechnen des Konvergenzradius unterlaufen:
$R = [mm] \lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2n}}}{\frac{1}{\sqrt{2(n+1)}}} \right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left| \frac{\sqrt{2n+2}}{\sqrt{2n}} \right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left| \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left| \sqrt{1+\frac{1}{n}} \right| [/mm] = 1$.
zu 2) habe ich mir noch nicht angeschaut.
Gruß
Markus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Sandeu |
warum divergiert die Reihe für x=3???
Ich komme immer auf Konvergenz!
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Hallo Sandeu!
Hast Du mal den Wert $x \ = \ 3$ eingesetzt und die entsprechende Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2n}}*(3-2)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2n}}*1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm] untersucht?
Diese divergiert nämlich nach dem Minorantenkriterium, wenn Du gegen die harmonische Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] abschätzt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Sandeu |
Soweit ist alles klar, nur leider darf ich das Minorantenkriterium nicht verwenden, da es in der VL noch nicht angesprochen wurde.
Geht das nicht noch irgendwie anders?
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Hallo,
wir hatten in der Vorlesung das Majorantenkriterium, und somit auch das minorantenkriterium(wenn ich mich genau erinnere wurde es sogar im Tutorium behandelt). du kannste es also ohne Probleme benutzen.
nathenatiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Sandeu |
Ach echt, danke...
Hätte vielleicht doch mal in mein Tutorium gehen sollen...
Na dann viel Glück bei der Klausur...
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Hallo,
danke für den Hinweis zu Aufgabe 1.
ich hatte einen Fehler in der Aufgabenstellung zu Aufgabe 2). habe ihn jetzt korrigiert.
Als Konvergenzradius habe ich [mm] \bruch{1}{e}. [/mm] Aber jetzt habe ich ein Problem bei der Bestimmung des Konvergenzintervalls.
Ich bekomme als Intervall [mm] (-\bruch{1}{e}-3-4i,\bruch{1}{e}+3+4i) [/mm] raus.
irgendwie komme ich damit nicht weiter, kann mir jemand helfen?
MFG
Nathenatiker
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Hallo,
habe jetzt raus, dass die Reihe für konvergiert für
3-4i- [mm] \bruch{1}{e} \lex \le3-4i+ \bruch{1}{e}.
[/mm]
ich bin mir nicht 100%sicher, denke aber das das ergebnis richtig sein müsste.
mfg
Natehnatiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mo 17.07.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo!
zur Aufgabe 2:
Wenn man hier alle komplexen Zahlen sucht, für die die Potenzreihe konvergiert, erhält man ja wirklich einen Kreis und kein Intervall, denn Intervalle gibt es ja bei den komplexen Zahlen nicht...
Es muss also, wenn der Konvergenzradius stimmt (ich habe nicht nachgerechnet), der Kreis mit Radius 1/e um den Punkt 3-4i Lösung sein.
Tausi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 18.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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