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Hallo zusammen
Habe gerade versucht folgende Reihe zu lösen.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3x-10}{2})^n*\bruch{1}{n^2}
[/mm]
Als ich nicht mehr weiterkam, schaute ich die Musterlösungen dazu an. Nun steht dort:
Wurzelkriterium: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (|a_n|)^{\bruch{1}{n}}=\bruch{3x-10}{2}<1
[/mm]
also die Riehe konvergiert für x<4 und divergiert für x>4. Falls x=4 haben wir die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] welche konvergiert.
Ich verstehe das nicht wirklich:
Es ist ja [mm] ((\bruch{3x-10}{2})^n*\bruch{1}{n^2})^{\bruch{1}{n}}=\bruch{3x-10}{2}*\bruch{1}{n^2}^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3x-10}{2}*\bruch{1}{n^2}^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{3x-10}{2}
[/mm]
Dann muss ich ja schauen für welche x [mm] \bruch{3x-10}{2} [/mm] kleiner oder grösser als 1 ist. Bis hier hin verstehe ich das!
Und jetzt wieso ist es bei x=4 konvergent?
Es ist mir klar, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert, aber wieso muss ich für x=4 nur noch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] betrachten?
Besten Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mi 05.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Konvergenzradius der durch |3x-10|/2<1 bestimmt ist sagt nur aus, dass die Reihe für alle 0<x<4 konvergiert, über die Randpunkte sagt er nichts aus. deshalb muß man die Randpunkte einzeln behandeln.
bei der Bestimmung von x hast du nur die Werte 0<3x-10<2 und nicht die für 3x-10<0 bestimmt, du läßt plötzlich die Betragsstriche weg.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Habe gerade versucht folgende Reihe zu lösen.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3x-10}{2})^n*\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> Als ich nicht mehr weiterkam, schaute ich die
> Musterlösungen dazu an. Nun steht dort:
> Wurzelkriterium: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (|a_n|)^{\bruch{1}{n}}=\bruch{3x-10}{2}<1[/mm]
Ich glaube nicht, dass das in der Musterlösung steht ! Betragsstriche sind alles andere als überflüssig !
Da steht sicher:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (|a_n|)^{\bruch{1}{n}}=\bruch{|3x-10|}{2}<1[/mm]
>
> also die Riehe konvergiert für x<4
Das ist Unsinn ! Das hat man davon, wenn man die Betragssriche verschlampert.
FRED
> und divergiert für
> x>4. Falls x=4 haben wir die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] welche konvergiert.
>
> Ich verstehe das nicht wirklich:
> Es ist ja
> [mm]((\bruch{3x-10}{2})^n*\bruch{1}{n^2})^{\bruch{1}{n}}=\bruch{3x-10}{2}*\bruch{1}{n^2}^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3x-10}{2}*\bruch{1}{n^2}^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{3x-10}{2}[/mm]
> Dann muss ich ja schauen für welche x [mm]\bruch{3x-10}{2}[/mm]
> kleiner oder grösser als 1 ist. Bis hier hin verstehe ich
> das!
> Und jetzt wieso ist es bei x=4 konvergent?
> Es ist mir klar, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
> konvergiert, aber wieso muss ich für x=4 nur noch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] betrachten?
>
> Besten Dank!
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Hallo zusammen
Also wenn ich euch richtig verstehe:
Reihe konvergiert für |x|<4 und divergiert für |x|>4
Und was muss ich jetzt genau machen für |x|=4?
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Hallo Babybel!
> Also wenn ich euch richtig verstehe:
> Reihe konvergiert für |x|<4 und divergiert für |x|>4
Richtig.
Hier habe ich mich leider auch mit (bzw. ohne) die Betragsstriche aufs Glatteis führen lassen.
> Und was muss ich jetzt genau machen für |x|=4?
Setze [mm] $x_1 [/mm] \ = \ ...$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +4$ in Deine Ausgangsreihe ein und untersuche hier wiederum auf Konvergenz.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Babybel!
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> > Also wenn ich euch richtig verstehe:
> > Reihe konvergiert für |x|<4 und divergiert für |x|>4
>
> ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig.
Hallo Roadrunner,
es ist leider nicht richtig.
Gruß FRED
>
>
> > Und was muss ich jetzt genau machen für |x|=4?
>
> Setze [mm]x_1 \ = \ -4[/mm] bzw. [mm]x_2 \ = \ +4[/mm] in Deine Ausgangsreihe
> ein und untersuche hier wiederum auf Konvergenz.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Also wenn ich euch richtig verstehe:
> Reihe konvergiert für |x|<4 und divergiert für |x|>4
Nein. Löse doch mal die Ungl.
[mm] \bruch{|3x-10|}{2}<1 [/mm] auf !
>
> Und was muss ich jetzt genau machen für |x|=4?
Für x=4 sollst Du schauen, ob die Reihe konvergiert oder nicht.
FRED
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Hallo zusammen
Erstmal danke für eure Antworten!
Also hier meine Lösung der Ungleichung:
[mm] \bruch{|3x-10|}{2}<1 \gdw [/mm] |3x-10| < 2 [mm] \gdw [/mm] |3x| < 12 [mm] \gdw [/mm] |x| < 4
Wo ist den da der Fehler?????
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Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Erstmal danke für eure Antworten!
>
> Also hier meine Lösung der Ungleichung:
> [mm]\bruch{|3x-10|}{2}<1 \gdw[/mm] |3x-10| < 2 [mm]\gdw[/mm] |3x| < 12
Grauenhaft. Dafür gehörst du zurückversetzt in Klasse 2 ...
Nach welcher Regel ist bitte $|a+b|=|a|+|b|$ ??
> [mm]\gdw[/mm]
> |x| < 4
>
> Wo ist den da der Fehler?????
Beim zweiten [mm] $\gdw$
[/mm]
Schaue in deinen Unterlagen der Mittelstufe nach, wie man einfachste lineare Ungleichungen löst ...
Au weia!
Gruß
schachuzipus
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Na vielen Dank auch!
Sorry aber ich seh's einfach nicht wie ich auf ein anderes Resultat als |x|<4 kommen soll!!!!
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Hallo nochmal,
> Na vielen Dank auch!
Ja, was soll ich denn da anderes sagen?
Das ist in der Kategorie [mm](a+b)^2=a^2+b^2[/mm] ...
Wie soll man sowas sonst kommentieren?
>
> Sorry aber ich seh's einfach nicht wie ich auf ein anderes
> Resultat als |x|<4 kommen soll!!!!
Indem du die Betragsungleichung korrekt auflöst.
Mache eine Fallunterscheidung:
1) [mm]3x-10\ge 0[/mm], dann ist [mm]|3x-10|=3x-10[/mm]
2) [mm]3x-10<0[/mm], dann ist [mm]|3x-10|=-(3x-10)=10-3x[/mm]
Hast du noch nie eine Betragsungleichung gelöst?
Das wäre sehr merkwürdig ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Na vielen Dank auch!
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> Sorry aber ich seh's einfach nicht wie ich auf ein anderes
> Resultat als |x|<4 kommen soll!!!!
Liest Du, was man Dir schreibt ??? Ich hab Dir geschrieben:
|3x-10| < 2 $ [mm] \gdw [/mm] $ -2<3x-10<2
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorredner hat ja schon deftiges gesagt. Dennoch:
|3x-10| < 2 [mm] \gdw [/mm] -2<3x-10<2
FRED
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Also da erhalte ich x>8/3 und x<4 (Hoffe es stimmt....)
Dann konvergiert also meine Reihe für [mm] x\in(8/3,4) [/mm] und divergiert für x<8/3 und x>4
Dann muss ich jetzt noch die Werte x=8/3 und x=4 in die Reihe einsetzen und diese dort auf Konvergenz untersuchen, oder?
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Hallo nochmal,
> Also da erhalte ich x>8/3 und x<4 (Hoffe es stimmt....)
> Dann konvergiert also meine Reihe für [mm]x\in(8/3,4)[/mm] und
> divergiert für x<8/3 und x>4
> Dann muss ich jetzt noch die Werte x=8/3 und x=4 in die
> Reihe einsetzen und diese dort auf Konvergenz untersuchen,
> oder?
Jo, so ist es richtig!
Gruß
schachuzipus
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Ok! Vielen Dank euch allen! Werde meinen Musterlösungen in Zukunft nicht mehr trauen.
Und jetzt noch kurz zu den beiden x:
Für x=8/3 erhalte ich ja die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n^2} [/mm]
Via Leibnitzkrit.:
1) [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] ist monoton fallend
2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe konv. für x=8/3
Für x=4 erhalte ich dann die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}, [/mm] welche ja bekannt ist und konvergiert.
Ist das so nun richtig?
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Hallo nochmal,
> Ok! Vielen Dank euch allen! Werde meinen Musterlösungen in
> Zukunft nicht mehr trauen.
>
> Und jetzt noch kurz zu den beiden x:
> Für x=8/3 erhalte ich ja die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Via Leibnitzkrit.:
> 1) [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] ist monoton fallend
> 2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe konv. für x=8/3
Jo!
>
> Für x=4 erhalte ich dann die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2},[/mm]
> welche ja bekannt ist und konvergiert.
>
> Ist das so nun richtig?
Jo, alles bestens ...
Das war oben auch nicht böse gemeint, sondern eher als kleiner "Tritt" oder Schubser, nicht so leichtfertig zu sein ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
:) Ok. Vielen Dank!
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