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Hallo zusammen
Habe gerade folgende Aufgabe gelöst, und wollte wissen, ob dies so korrekt ist:
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n*\bruch{1}{n*ln(n)} [/mm] konvergiert.
Meine Lösung:
Via Leibniz:
1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n*ln(n)} [/mm] = 0 OK
2) z.z.: [mm] \bruch{1}{n*ln(n)} [/mm] ist monoton fallend
Hierzu definiere ich f(x) = [mm] \bruch{1}{x*ln(x)}
[/mm]
Dann [mm] f'(x)=\bruch{-x*ln(x)}{(x*ln(x))^2}=\bruch{-1}{x*ln(x)}
[/mm]
Nun gilt für x [mm] \ge [/mm] 2 ln(x)>0 und x>0
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] monoton fallend
Das sind ja alle Bedinungen die erfüllt sein müssen bei Leibniz, oder?
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Habe gerade folgende Aufgabe gelöst, und wollte wissen, ob
> dies so korrekt ist:
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n*\bruch{1}{n*ln(n)}[/mm]
> konvergiert.
>
> Meine Lösung:
> Via Leibniz:
> 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n*ln(n)}[/mm] = 0
> OK
> 2) z.z.: [mm]\bruch{1}{n*ln(n)}[/mm] ist monoton fallend
> Hierzu definiere ich f(x) = [mm]\bruch{1}{x*ln(x)}[/mm]
> Dann
> [mm]f'(x)=\bruch{-x*ln(x)}{(x*ln(x))^2}=\bruch{-1}{x*ln(x)}[/mm]
Die Ableitung ist falsch! Der Weg ist jedoch gangbar, wenn auch ungewöhnlich.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant
Hab's auch gerade bemerkt dass die Ableitung falsch ist :/
Aber wieso ist dies ein, wie du schreibst, ungewöhnlicher" Weg? Gibt es einfachere, oder was meinst du?
Besten Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 05.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du musst nicht mit solche starke Geschütze,
wie das Verwenden der Ableitung auspacken,
um diese Aufgabe zu lösen. Das ist alles 
Gruß
DieAcht
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Hallo,
> Hallo Diophant
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> Hab's auch gerade bemerkt dass die Ableitung falsch ist :/
> Aber wieso ist dies ein, wie du schreibst, ungewöhnlicher"
> Weg? Gibt es einfachere, oder was meinst du?
Ja, wer schon bisschen weiter in der Mathematik steckt der würde schreiben:
"z.z. [mm] a_n [/mm] ist Nullfolge: klar"
hier ist es wirklich klar. [mm] (n)_{n\in\IN} [/mm] ist monoton wachsend, wie auch [mm] (\ln(n))_{n\in\IN}. [/mm] Daher ist auch [mm] n*\ln(n) [/mm] monoton wachsend und daher konvergiert der Bruch gegen Null.
Also im Prinzip sieht man das ganze sofort.
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> Besten Dank!
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