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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz Reihe
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Konvergenz Reihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:57 Mi 19.11.2014
Autor: dodo1924

Aufgabe
Ist die folgende Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent?

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5} [/mm]

Bei dieser Aufgabe war ich mir unsicher und wollte euch fragen, ob meine Lösung stimmt.

Ich habe absolute konvergenz mithilfe des Wurzelkriteriums gezeigt:

[mm] k\wurzel{\bruch{e^k}{k^5}} [/mm] = [mm] \bruch{e}{k\wurzel{k^5}} [/mm] = [mm] \bruch{e}{k\wurzel{k}^5} [/mm]

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{e}{k\wurzel{k}^5} [/mm] = 0, da ja e = 2,7182818... und der untere Termk [mm] k\wurzel{k}^5 [/mm] für [mm] n\ge2 [/mm] immer größer als e ist, also die Folge monoton fällt.

Da nun die Folge gegen 0 konvergiert, der Limes also kleiner als 1 ist, folgt nach dem Wurzelkriterium, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5} [/mm] absolut konvergent ist.
Richtig?

        
Bezug
Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Mi 19.11.2014
Autor: chrisno


> Ist die folgende Reihe divergent, konvergent oder absolut
> konvergent?
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5}[/mm]
>  Bei dieser Aufgabe war ich mir unsicher und wollte euch
> fragen, ob meine Lösung stimmt.

Merke: [mm] $e^x$ [/mm] schlägt jede Potenz
Von daher ist klar, dass die Reihe divergiert.

>  
> Ich habe absolute konvergenz mithilfe des Wurzelkriteriums
> gezeigt:
>  
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{e^k}{k^5}} = \bruch{e}{\wurzel[k]{k^5}} = \bruch{e}{k^{\br{5}{k}}}[/mm]

Ich habe mal das gesetzt, was Du wahrscheinlich meinst.

>  
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{e}{\wurzel[k]{k}^5}[/mm] = 0,
> da ja e = 2,7182818... und der untere Termk [mm]k\wurzel{k}^5[/mm]
> für [mm]n\ge2[/mm] immer größer als e ist,

Da frage ich mal meinen Taschenrechner: [mm] $100^{\br{5}{100}} \approx [/mm] 1,26$ sagt der.

> also die Folge monoton
> fällt.
>  
> Da nun die Folge gegen 0 konvergiert, der Limes also
> kleiner als 1 ist, folgt nach dem Wurzelkriterium, dass die
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5}[/mm] absolut
> konvergent ist.
>  Richtig?


Bezug
                
Bezug
Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:09 Mi 19.11.2014
Autor: dodo1924

Ok, da hab ich die wurzel wohl falsch in den taschenrechner eingetippt und bin deshalb auf extrem hohe ergebnisse gekommen ^^

Dann gilt, dass [mm] k^\bruch{5}{k} [/mm] ab n=5 immer kleiner wird und ab einem [mm] n_e [/mm] sogar e unterschreitet, was zur Folge hat, dass die Folge  [mm] \bruch{e}{k^\bruch{5}{k}} [/mm] gegen e strebt (da sich [mm] k^\bruch{5}{k} [/mm] ja der 1 annähert) oder?
Also ist der limes größer als 1 [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5} [/mm] = e > 1), also ist die Reihe lt Wurzelkriterium divergent!
Nun richtig?

Danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast! ;)

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Mi 19.11.2014
Autor: fred97


> Ok, da hab ich die wurzel wohl falsch in den taschenrechner
> eingetippt und bin deshalb auf extrem hohe ergebnisse
> gekommen ^^
>  
> Dann gilt, dass [mm]k^\bruch{5}{k}[/mm] ab n=5 immer kleiner wird

wieso ?

k , dann n ??? Entscheide Dich mal !


> und ab einem [mm]n_e[/mm] sogar e unterschreitet,

wieso ?

>  was zur Folge hat,
> dass die Folge  [mm]\bruch{e}{k^\bruch{5}{k}}[/mm] gegen e strebt
> (da sich [mm]k^\bruch{5}{k}[/mm] ja der 1 annähert) oder?

Ja, aber ohne obiges Blabla

[mm] k^\bruch{5}{k} \to [/mm] 1 (k [mm] \to \infty) [/mm]

somit haben wir [mm]\bruch{e}{k^\bruch{5}{k}} \to e[/mm]


>  Also ist der limes größer als 1


Ja,


> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5}[/mm] = e > 1),

Das ist jetzt aber nicht richtig ! Es gilt

  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5}= \infty[/mm]


> also ist die Reihe lt Wurzelkriterium divergent!
>  Nun richtig?

Ja, bis auf

    [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5}[/mm] = e > 1),


FRED

>  
> Danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast!
> ;)




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