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Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 So 09.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Untersuchen Sie die Reihen mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:

[mm] \summe_{i=1}^{infty}= n!/n^n [/mm]

Ich habe eins raus. Kann das sein?

EDIT: Nein ich habe mich vertan.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{(n)}} [/mm] = "Jetzt würde ich L´Hospital anwenden" = [mm] e^{ln( \bruch{n^n}{(n+1)^(n)})} [/mm] = [mm] e^{n*ln(\bruch{n}{n+1}}=...=e^{1} [/mm]

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 So 09.07.2017
Autor: angela.h.b.


> Untersuchen Sie die Reihen mit dem Quotientenkriterium auf
> Konvergenz:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{infty}= n!/n^n[/mm]

Hallo,

wahrscheinlich möchtest Du mit uns über [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n!/n^n [/mm] sprechen.


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{(n)}}[/mm] =
> "Jetzt würde ich L´Hospital anwenden" = [mm]e^{ln( \bruch{n^n}{(n+1)^(n)})}[/mm]
> = [mm]e^{n*ln(\bruch{n}{n+1}}=...=e^{1}[/mm]


Du schreibst hier
" [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}=...=e^1" [/mm] .
Meinst Du das wirklich? Nein, wohl eher nicht.

Der Überschrift entnehme ich, daß Du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] untersuchen möchtest, was Du dann ja auch tust.

Du bekommst [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}}=e, [/mm] woraus folgt, daß die zu untersuchende Reihe nicht konvergiert.

Allerdings hast Du irgendwie falsch gerechnet.

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm]  = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}}[/mm]

stimmt, wie Du dann aber l'Hospital anwendest, durchschaue ich nicht, und das Ergebnis ist auch verkehrt.

Ich würde aber auch nicht mit dem Hospital-Geschoß kommen, sondern mich auf bekannte Grenzwerte berufen.

Es ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] und dazu fällt Dir bestimmt etwas ein, wenn Du mal in Richtung e denkst.

LG Angela


>  
> LG DerPinguinagent


Bezug
        
Bezug
Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 09.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte da irgendwie ein Denkfehler drin. Kann es sein, dass da [mm] e^{-1} [/mm]

LG DerPinguinagent

Bezug
                
Bezug
Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Pinguinagent ;-)


Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{\frac{n+1}{n}})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1^{n}}{(\frac{n+1}{n})^{n}} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1^{n}}{(n + \frac{1}{n})^{n}} [/mm]

Und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{e} [/mm]

Nun sauber formuliert: was sagt das Quotientenkriterium nun aus?

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 So 09.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Danke, aber das ist doch [mm] e^{-1} [/mm] => Konvergent

LG DerPinguinagent

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 So 09.07.2017
Autor: X3nion


> Untersuchen Sie die Reihen mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:

> $ [mm] \summe_{i=1}^{infty}= n!/n^n [/mm] $

> Ich habe eins raus. Kann das sein?

> EDIT: Nein ich habe mich vertan.

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{(n)}} [/mm] $ = "Jetzt würde ich L´Hospital anwenden" = $ [mm] e^{ln( \bruch{n^n}{(n+1)^(n)})} [/mm] $ = $ [mm] e^{n\cdot{}ln(\bruch{n}{n+1}}=...=e^{1} [/mm] $

> LG DerPinguinagent


Hallo Pinguinagent,

klar ist die Reihe damit konvergent, aber an der Schreibweise kann man noch ein wenig arbeiten!

> Ich habe eins raus. Kann das sein?

Was ist "eins"? :-)

Darüber hinaus ist nicht $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] $

Sondern das Quotientenkriterium besagt folgendes:
Es sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine Reihe mit [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 für fast alle n.

Ist nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] < 1, so konvergiert die ursprügliche Reihe absolut.


In unserem Fall ist [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n!}{n^n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\frac{n!}{n^n}}\right| [/mm] = ... = [mm] e^{-1} [/mm] < 1

=> folglich ist die ursprüngliche Reihe absolut konvergent und deshalb auch konvergent im gewöhnlichen Sinne.


Viele Grüße,
X3nion

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