Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Konvergenz der Reihe? Reihenwert?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k*(k+1)} [/mm] - [mm] \bruch{7}{8^{k}} [/mm] |
Hallo,
ich hätte dazu erstmal eine allgemeine Frage, die mir hoffentlich jemand
beantworten kann... denn sonst lohnt es sich nicht mein Lösungsweg aufzuzeigen...
Wenn ich so eine Summe habe, kann ich dann zur Einfachheit des Umstellen das Summenzeichen weglassen und sagen:
[mm] \bruch{2}{k*(k+1)} [/mm] - [mm] \bruch{7}{8^{k}} [/mm] = 0
dann alles Umstellen, so wie ich denke, dass es passt... also, dass dann so etwas rauskommt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{\bruch{7}{2} k^{2} + \bruch{7}{2} k} [/mm] - 8
Wenn nein, muss ich dass etwa über die Partialsummenzerlegung machen??? Diesbezüglich hab ich diese noch nicht verstanden...
Für Antwort vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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Hallo,
also zunächst mal müssen da Klammern um die Reihe. Und dann das Quotientenkriterium anwenden. Außerdem gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})=\summe_{i=1}^{n}a_{i}+\summe_{i=1}^{n}b_{i}
[/mm]
Und fertig!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Ergänzend zu mathmetzsch's Antwort:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left[\bruch{2}{k*(k+1)} - \bruch{7}{8^{k}}\right] [/mm] \ = \ [mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] - [mm] 7*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{8}\right)^k$
[/mm]
Die erste Reihe zerlegen mittels Partialbruchzerlegung. Die zweite Reihe stellt eine geometrische Reihe dar.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Doreen |
hallo,
diese Idee hatte ich auch gehabt und habe schon mal angefangen zu rechnen... jetzt bin ich ja gleich erfreut... denn das wollte ich soeben nachfragen.
Erstmal danke...
die nächsten Fragen kommen garantiert.
Gruß Doreen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 So 15.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Guten Morgen...
ich hätte da noch Fragen zu der Aufgabe.
Ich schaue mir jetzt beide Summen getrennt an, dann
erhalte ich für die erste Summe, aufgrund der Partialsummenzerlegung
folgende Partialsummenfolge
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{k} [/mm] - [mm] \bruch{2}{k+1} [/mm] = 2-1 + 1-2/3 +2/3 -2/4 +...+ 2/n - 2/n+1 = 2- [mm] \bruch{2}{n+1}
[/mm]
für die geometrische Folge erhalte ich nach Indexverschiebung
-7 [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{\bruch{1}{8}}^{k+1}
[/mm]
das setze ich in Formel für geom. Reihe ein [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = -7 * [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{8}} [/mm] = -8
Was muss ich denn jetzt weiter machen?
muss ich beide Teile wieder zusammenfügen zu einem?
also sprich: 2- [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] -8 allerdings gilt ja das eine für k=1 und das andere für k=0...
Über Unterstützung und Hilfe wäre ich dankbar.
Also, vielen Dank im Voraus
Gruß
Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 15.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{k}[/mm] - [mm]\bruch{2}{k+1}[/mm] = 2-1 +
> 1-2/3 +2/3 -2/4 +...+ 2/n - 2/n+1 = 2- [mm]\bruch{2}{n+1}[/mm]
1. Mit Blick auf die Indexverschiebung der anderen Teilreihe kannst Du diese auch hier durchführen:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{2}{k}-\bruch{2}{k+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{2}{k+1}-\bruch{2}{k+2}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 2-\bruch{2}{n+2}$
[/mm]
2. Für die unendliche Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}$ [/mm] bzw. den Reihenwert musst Du nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{2}{k}-\bruch{2}{k+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{2}{k}-\bruch{2}{k+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left(2-\bruch{2}{n+2}\right) [/mm] \ =\ ...$
> für die geometrische Folge erhalte ich nach Indexverschiebung
>
> -7 [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{\bruch{1}{8}}^{k+1}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> das setze ich in Formel für geom. Reihe ein [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> = -7 * [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{8}}[/mm] = -8
Aufpassen! Diese Formel mit [mm] $\bruch{1}{1-q}$ [/mm] gilt nur für die Form:
[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Also lediglich $k_$ im Exponenten sowie für die unendliche Reihe.
Du musst Deine Reihe auch erst in diese Form bringen:
[mm] $-7*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{8}\right)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] -7*\summe_{k=0}^{\infty}\left[\left(\bruch{1}{8}\right)^k*\left(\bruch{1}{8}\right)^1\right] [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{7}{8}*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{8}\right)^k$
[/mm]
Nun einsetzen in die Formel ergibt:
[mm] $-\bruch{7}{8}*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{8}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{7}{8}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{8}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{7}{8}*\bruch{8}{7} [/mm] \ =\ ...$
Am Ende die beiden Werte der Teilreihen addieren.
Gruß
Loddar
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