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| Aufgabe | Untersuche das Konvergenzverhalten der Reihe [mm] \summe_{n\ge1}^{} a_n, [/mm] in der [mm] a_n [/mm] einen der folgenden Werte hat:
a) [mm] \bruch{a^{n}}{1+a^{n}} [/mm] a>0
b) [mm] \bruch{n^{a}}{n!} [/mm] mit [mm] a\in\IQ [/mm]
c) [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^{2} [/mm] |
Hallo allerseits.
Mir ist aufgefallen, dass ich noch einige Unsicherheiten habe.
a) Hier bin ich mir der Richtigkeit relativ sicher, trotzdem:
Mit dem Wurzelkriterium erhalte ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{a^{n}}{1+a^{n}}|}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{a}{\wurzel[n]{1+a^{n}}}=a [/mm]
weil [mm] 1<\wurzel[n]{1+a^{n}}<\wurzel[n]{2a^{n}}=\wurzel[n]{a^{n}}\wurzel[n]{2}\to1 [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
also folgt die Konvergenz für a<1 und Divergenz für [mm] a\ge1
[/mm]
b) In der Lösung steht nur, dass die Konvergenz aus dem Quotientenkriterium folgt. Ich habe das nicht hinbekommen, sondern mit dem Wurzelkriterium versucht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{n^{a}}{n!}|}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{\wurzel[n]{n}^{a}}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] gilt das eigentlich für alle [mm] a\in\IR [/mm] mit [mm] a<\infty?
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}=0 [/mm]
Darauf folgt absolute Konvergenz
c) Im Buch stand hier eine Abschätzung die ich mir nicht herleiten konnte. Ich habe es so gemacht:
Majorantenkriterium
[mm] (\wurzel[n]{n}-1)^{2}=\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+1<\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+2\wurzel[n]{n}=\wurzel[n]{n}^{2}=\wurzel[n]{n}\wurzel[n]{n}\to [/mm] 1*1=1
Die Frage ist, ob dieses "<" erlaubt ist, bzw. ob das für [mm] n\to\infty [/mm] immer noch Wirkung hat?
Grüße, kulli
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