Konvergenz Reihe: Cauchy < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Guten Abend!
ich versuche gerade zu verstehen, wie das Konvergenzkriterium nach Cauchy (für Folgen) anzuwenden ist.
Es ist also zu zeigen, dass ab einem ausreichend hohen Index [mm] N>n_{0} [/mm] der Abstand der Folgenglieder beliebig klein wird [mm] |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon [/mm]
leider kann ich das nicht auf die Folgen anwenden, die mir vorliegen!
sei also [mm] a_{n}=\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}
[/mm]
durch Umformen erhalte ich
[mm] =1-\bruch{1}{(n+1)^2} [/mm] , die Folge ist also nach oben beschränkt (A=1) und monoton wachsend.
kann ich darauf auch Cauchy anwenden? Sonst schlagt gerne ein Beispiel vor! :)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 26.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend!
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> ich versuche gerade zu verstehen, wie das
> Konvergenzkriterium nach Cauchy (für Folgen) anzuwenden
> ist.
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> Es ist also zu zeigen, dass ab einem ausreichend hohen
> Index [mm]N>n_{0}[/mm] der Abstand der Folgenglieder beliebig klein
> wird [mm]|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon[/mm]
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> leider kann ich das nicht auf die Folgen anwenden, die mir
> vorliegen!
???
Du warst ein paar Zeilen weiter unten immerhin in der Lage, ein Folgenglied [mm] a_n [/mm] anzugeben. Scheiterst du jetzt daran, auch noch das Folgenglied [mm] a_m [/mm] zu nennen? Und die Differenz der beiden ist ein unüberwindbares Hindernis???
Nur Mut! Das Forum hat noch keinen im Stich gelassen, der sich traut, seinen Verstand zu gebrauchen.
Viele Grüße
Abakus
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> sei also [mm]a_{n}=\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}[/mm]
>
> durch Umformen erhalte ich
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> [mm]=1-\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm] , die Folge ist also nach oben
> beschränkt (A=1) und monoton wachsend.
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> kann ich darauf auch Cauchy anwenden? Sonst schlagt gerne
> ein Beispiel vor! :)
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>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ich formuliere meine Frage neu ;)
natürlich kann ich zeigen, dass
[mm] \vmat{\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2} - \bruch{m^2+2m}{(m+1)^2} } [/mm] Kleiner als ein gewisser Wert wird, wenn ich m größer als n wähle. Aber wie zeige ich allgemein, dass es beliebig klein wird?
wähle ich mein [mm] b_{n}=n [/mm] und mein [mm] b_{m}=m, [/mm] so kann ich ja auch sagen, dass [mm] |b_{n}-b_{m}| [/mm] kleiner als ein gewisser Wert |n-m| wird (für m größer n), jedoch ist diese Folge natürlich divergent!
Wie kann ich damit überhaupt eine Abschätzung angeben (obere Schranke)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Du muss zeigen, dass es für [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N = [mm] N(\exists) \in \IN, [/mm]
so dass [mm] |a_{n+p} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \le [/mm] N.
Deine Aufgabe ist es eben dieses feste N abhängig von [mm] \varepsilon [/mm] zu ermitteln. Wenn eine Folge Divergent ist, wirst du deine Abschätzung [mm] (\le) [/mm] auf jeden Fall nicht zu Ende führen können. Es ist also nicht möglich bei Konvergenten Folgen eine Divergenz zu zeigen.
Man sollte beim Cauchy Kriterium schon vorher so eine Vermutung haben ob eine Folge Konvergiert oder nicht, sonst kann man viel Zeit verschwenden.
Bei Divergenten Folgen muss du stattdessen [mm] |a_{n+p} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] zeigen. In diesem Fall nach unten hin [mm] (\ge) [/mm] abschätzen.
Liebe Grüße
~ Vju
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
eine etwas blöde Frage:
wo liegt der Vorteil bzw. wann setzt man das Cauchy-Kriterium ein, wenn eine gewisse Kenntnis der Konvergenz (Vermutung) sozusagen vorausgesetzt wird?
Soll jetzt nicht polemisch klingen, aber das Cauchy Kriterium wirkt etwas "holprig" ;)
lg
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Hallo Chrisi,
so spontan fallen mir 2 Vorteile vom Cauchy-Kriterium ein:
1. Eine Grenzwertbetrachtung bei Reihen:
Will man wissen, ob die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] konvergiert, fasst man es als Folge von Partialsummen auf und betrachtet [mm]|s_n - s_m| = |\summe_{i=n+1}^{m}a_i|[/mm] und schaut halt, ob man das kleiner als jedes Epsilon bekommt für [mm]m \ge n[/mm]
Ich denke der Vorteil liegt hier auf der Hand 
2. Die Definition der Vollständigkeit eines metrischen Raumes:
Später definiert man sich die Vollständigkeit mithilfe des Cauchykriterium,
es gilt nämlich: Ein metrischer Raum ist vollständig [mm] \gdw [/mm] Jede Cauchyfolge konvergiert in diesem metrischen Raum.
Als Beispiel sei dazu grob angeführt: Ich kann mir eine Folge mit Werten aus [mm] \IQ [/mm] konstruieren, die gegen [mm] \sqrt{2} [/mm] konvergiert. Dann erfüllt die Folge das Cauchykriterium (in [mm] \IR [/mm] gilt schliesslich, jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge), konvergiert aber nicht in [mm] \IQ. [/mm]
[mm] \IQ [/mm] ist damit nicht vollständig.
MfG,
Gono.
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> eine etwas blöde Frage:
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> wo liegt der Vorteil bzw. wann setzt man das
> Cauchy-Kriterium ein, wenn eine gewisse Kenntnis der
> Konvergenz (Vermutung) sozusagen vorausgesetzt wird?
>
> Soll jetzt nicht polemisch klingen, aber das Cauchy
> Kriterium wirkt etwas "holprig" ;)
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du Analysis im Reellen betreibst.
Das Cauchykriterium hat den Vorteil, daß Du damit die Konvergenz einer Reihe zeigen kannst, ohne ihren Grenzwert zu kennen.
Es ist universell einsetzbar, also kein Spezialwerkzeug: im Gegensatz zu den anderen Kriterien sind an die Reihe [mm] \summe a_n [/mm] keinerlei weitere Anforderungen gestellt. Das unterscheidet dieses Kriterium z.B. vom Quotientenkriterium, welches man nur für solche Reihen verwenden kann, bei denen irgendwann alle [mm] a_n \not=0 [/mm] sind.
Natürlich wird man nicht das Cauchykriterium verwenden, wenn man eine Reihe vorliegen hat, für die das Leibnizkriterium geradezu maßgeschneidert ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vju |
Ich hatte das Thema neulich auch erst und weiß deswegen, dass man sich mit dem Einstieg recht schwer tut. Aber nach ein bis zwei Beispielen wird das Prinzip recht deutlich. Allgemein kann man Cauchy immer nutzen sowohl für Konvergenz und Divergenz.
Bei der Konvergenz muss du zeigen:
Sei m>n, dann ist [mm] |a_m [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] oder [mm] |a_{n+p} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (p [mm] \in \IN).
[/mm]
Dein [mm] a_n [/mm] ist in diesem Fall [mm] a_{n} =\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2} [/mm] und [mm] a_{n+p} =\bruch{(n+p)^2+2(n+p)}{((n+p)+1)^2}. [/mm]
Die Differenz davon schreibst du dir auf und schätzt das Ganze dann nach oben [mm] (\le) [/mm] hin ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Für Reihen habe ich es noch gar nicht betrachtet, scheint in der Tat sehr praktisch zu sein (die Aufteilung in Partialsummen).
Allerdings kann ich ja auch die Partialsumme bis n berechnen, und dann den Grenzwert für n gegen unendlich bilden, oder?:
[mm] S=\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{k}a_{i}
[/mm]
(kann den Satz gerade nicht finden, mir kommt aber vor das ging so...)?
Ich habe jetzt versucht den Cauchy auf eine rekursive Folge anzuwenden, leider scheitere ich mangelden Wissens noch:
[mm] x_{n+1}=x_{n}^2+\bruch{1}{4} [/mm]
[mm] x_{1}=a
[/mm]
[mm] 0\le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1/2
wir sind das Problem meist so angegangen, dass wir "die Vermutung" angestellt haben, dass die Folge konvergiert. Dann konvergiert ja jedes Folgenglied für n gegen unendlich gegen diesen Grenzwert:
Dies führt auf: [mm] a=a^2+1/4 [/mm] , a=1/2
dann Beschränktheit und Monotonie (geht ja hier sehr einfach).
Wie wäre die Lösung mit Cauchy?
Liebe Grüße und danke für eure Hilfe!
Chris
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> Allerdings kann ich ja auch die Partialsumme bis n
> berechnen, und dann den Grenzwert für n gegen unendlich
> bilden, oder?
Natürlich kannst du das, denn das ist u.a. eine Definition, ob eine Reihe konvergiert (nämlich genau dann, wenn die Folge von Partialsummen konvergiert und der Grenzwert ist gleich)
> Ich habe jetzt versucht den Cauchy auf eine rekursive Folge
> anzuwenden, leider scheitere ich mangelden Wissens noch:
Du wirst auch so scheitern (und nicht aufgrund mangelnden Wissens  ) weil du keine allgemeine Darstellung für [mm] a_n [/mm] - [mm] a_m [/mm] finden wirst, ohne eine implizite Darstellung.
> wir sind das Problem meist so angegangen, dass wir "die
> Vermutung" angestellt haben, dass die Folge konvergiert.
> Dann konvergiert ja jedes Folgenglied für n gegen unendlich
> gegen diesen Grenzwert:
> dann Beschränktheit und Monotonie (geht ja hier sehr
> einfach).
Du "vermutest" dann ja nicht, dass die Folge konvergiert, sondern aufgrund der Beschränktheit und Monotonie WEISST du, dass die Folge gegen einen (unbekannten) Grenzwert a konvergiert, mit [mm]a = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] und [mm]a = \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}[/mm].
Aus diesem Grund gilt dann für den Grenzwert ja obige Gleichung (die im Übrigen 2 Lösungen hat, wovon aber eine Weitere aus anderen Überlegungen wegfällt).
MfG,
Gono.
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danke für eure Hilfe bisher! Echt großartig!
ich glaube allerdings nicht, dass obige Gleichung noch eine zweite Lösung besitzt ;.)
Also verwendet man das Cauchy-Kriterium für Folgen idR wenn man
a) eine Vermutung hat, dass die Folge konvergiert
b) Der Grenzwert nicht gefragt ist
c) die Folge explizit dargestellt ist
Auch wenn es mir so logisch erscheint scheitere ich noch immer an der Umsetzung:
sei
[mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^2+k}} [/mm]
nach ausrechnen einiger Glieder drängt sich die Vermutung auf, dass die Folge mit 1 beschränkt ist. Da Sie monoton steigt und beschränkt ist wäre sie konvergent.
die Konvergenz möchte ich mit dem Cauchy'schen Kriterium nun nachweisen:
[mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^2+k}} [/mm]
[mm] a_m=\summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{\wurzel{m^2+k}} [/mm]
und es gelte für genügend große n,m > N dass
[mm] |a_n-a_m| <\varepsilon [/mm] wobei [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] |\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^2+k}} -\summe_{k=1}^{m}\bruch{1}{\wurzel{m^2+k}}|<\varepsilon
[/mm]
setze nun m=n+p
[mm] |\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^2+k}} -\summe_{k=1}^{n+p}\bruch{1}{\wurzel{(n+p)^2+k}}|<\varepsilon
[/mm]
und trenne die Summe über k=1 bis n+p
[mm] |\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^2+k}} -\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n^2+k}}-\summe_{k=n+1}^{p}\bruch{1}{\wurzel{(p)^2+k}}|<\varepsilon
[/mm]
dann heben sich die Summen bis n auf und es bleibt eine Summe über, die auf jeden Fall kleiner [mm] <\varepsilon [/mm] wird?
ich muss schon ziemlich unfähig wirken befürchte ich ;)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 30.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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