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Konvergenz/Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Di 17.01.2006
Autor: NanoSusi

Aufgabe
Für die folgende Aufgabe gilt: “Ein Bild sagt mehr als tausend Worte...”:
   Definiere eine Folge [mm]J_{1}, J_{2}[/mm], . . . von Teilmengen von [0, 1] wie folgt:
Wir setzen  [mm]J_{1}=]\bruch{1}{3};\bruch{2}{3}[ [/mm]. Angenommen , dass[mm] J_{1}, . . . , J_{m-1}[/mm] schon definiert sind,
dann wird [0, 1] \ [mm] \bigcup_{j=1}^{m-1} J_{m} [/mm] eine Vereinigung von Intervallen [mm][a_{i}, b_{i}] [/mm]  sein [mm] (i = 1, 2, . . . , 2^{m-1}),[/mm]  und wir setzen [mm]J_{m} := \bigcup_{j=1}^{2m-1} ]\bruch{2a_{i}+b_{i}}{3},\bruch{a_{i}+2b_{i}}{3}[[/mm].


Rechtfertige diese Konstruktion und zeige, dass jedes Intervall [mm] ]\bruch{2a_{i}+b_{i}}{3},\bruch{a_{i}+2b_{i}}{3}[ die Länge 3^{-m} [/mm] hat. Zeige ferner, dass die Menge [0, 1] \ [mm] \bigcup_{m=1}^{\infty} J_{m}[/mm] unendlich viele Punkte enthält.

Hallo alle zusammen .

Ich sitze schon seit heute mittag, habe die Kapitel über Reihen und Folgen nochmals durchgelesen. Komme trotzdem nicht weiter:-(
Kann mir da einer eine mit einer Idee aushelfen ? kann mir einfach nicht vorstellen, was hier erwartet wird :-(

Eure Nanosusi


        
Bezug
Konvergenz/Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Do 19.01.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen Nanosusi,

was geschieht denn bei dem prozess in der Aufgabe ? Es wird doch aus jedem geschl.
Intervall das mittlere offene Drittel herausgenommen, oder ?

Den Teil ueber die Laenge der Intervalle koenntest Du so angehen, dass Du auch simultan zeigst, dass die Intervalle [mm] [a_i,b_i] [/mm] in der i-ten Iteration diese Laenge haben, dann kannst Du dass direkt fuer die naechste Iteration ausnutzen (also ein  Induktionsbeweis).

Ferner koenntest Du dabei auch induktiv zeigen, dass alle offenen Intervalle, die
in der Konstruktion vorkommen, paarweise disjunkt sind und echte Teilmengen von
[0,1]. Dann sind aber doch die Randpunkte [mm] a_i,b_i [/mm] auch in keinem der offenen
Intervalle enthalten, werden also in der Konstruktion nie entfernt, und dies ist Deine
unendliche Menge von Punkten in J.

Viel Erfolg und viele Gruesse,

Mathias


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