Konvergenz Splitting-Verfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Karl87 |
Hallo,
habe eine Frage bzgl der Konvergenz von Splitting-Verfahren.
Ein Splitting-Verfahren ist ja genau dann konvergent, wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner 1 ist (p(M)<1). Mir ist klar, der Spektralradius ist der betragsmäßig größte Eigenwert der Iterationsmatrix.
Habe nun gelesen, dass die Eigenwerte oft schwierig zu berechnen sind.
Jetzt meine Frage: Gibt es noch andere Möglichkeiten Konvergenzaussagen zu treffen?
Die angepassten Konvergenzaussagen (Zeilen-/Spalten-&Quadratsummenkriterium) mal kurz vernachlässigt.
Würde mich über eine Antwort freuen.
vG
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:39 Di 21.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Karl,
> Ein Splitting-Verfahren ist ja genau dann konvergent, wenn
> der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner 1 ist
> (p(M)<1). Mir ist klar, der Spektralradius ist der
> betragsmäßig größte Eigenwert der Iterationsmatrix.
Ja, wobei die Matrix [mm] $M\$ [/mm] quadratisch sein muss!
> Habe nun gelesen, dass die Eigenwerte oft schwierig zu
> berechnen sind.
Richtig.
> Jetzt meine Frage: Gibt es noch andere Möglichkeiten
> Konvergenzaussagen zu treffen?
Sei [mm] $M\$ [/mm] eine quadratische Matrix, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1) Der Spektralradius [mm] $r(M)\$ [/mm] von [mm] $M\$ [/mm] ist kleiner als [mm] $1\$.
[/mm]
2) [mm] $M^k\to [/mm] 0$ für [mm] k\to\infty.
[/mm]
3) Es gibt eine Vektornorm, sodass sich für induzierte Matrixnorm [mm] \|M\|<1 [/mm] ergibt.
4) [mm] $M-\lambda [/mm] E$ ist für alle [mm] \lambda [/mm] mit [mm] $|\lambda|\ge [/mm] 1$ regulär.
Kannst du mal probieren zu beweisen. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Karl87 |
Ein Kommilitone hat gemeint, es ist auch möglich Konvergenzaussagen über eine Abschätzung der Matrix zu treffen, vorausgesetzt ist nur, dass die Matrix hermitesch ist. Der From: Spektralradius p(M) [mm] \le [/mm] ||A||
Gibt es einen solchen Ansatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ein Kommilitone hat gemeint, es ist auch möglich
> Konvergenzaussagen über eine Abschätzung der Matrix zu
> treffen, vorausgesetzt ist nur, dass die Matrix hermitesch
> ist. Der From: Spektralradius p(M) [mm]\le[/mm] ||A||
Du meinst sicher $p(M) [mm] \le [/mm] ||M||$
>
> Gibt es einen solchen Ansatz?
Im Folgenden sei stets [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] oder = [mm] \IC.
[/mm]
Ist $||*||$ eine Norm auf [mm] \IK^n, [/mm] so induziert diese Norm eine Norm auf [mm] \IK^{n \times n}:
[/mm]
$||A||:= [mm] \max \{||Ax||: x \in \IK^n, ||x||=1 \}$.
[/mm]
Ist $A [mm] \in \IK^{n \times n}$, [/mm] so besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Spektralradius und der Norm:
[mm] $p(A)=\limes_{n\rightarrow\infty}||A^n||^{1/n}$.
[/mm]
Ist [mm] \IK^{n \times n} [/mm] mit der euklidischen Norm [mm] ||*||_2 [/mm] ausgestattet, dann ist die von [mm] ||*||_2 [/mm] induzierte Matrixnorm gegeben durch
[mm] $||A||_2:= \max \{||Ax||_2: x \in \IK^n, ||x||_2=1 \}$.
[/mm]
Für eine hemitesche Matrix $A$ gilt dann:
[mm] $p(A)=||A||_2$
[/mm]
FRED
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