Konvergenz Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Konvergiert [mm] \sum^\infty_{x=2} \frac{1}{x*ln^2(x)}? [/mm] |
Hallo.
Ich weiß, dass [mm] $\sum^\infty_{x=1} \frac{1}{x^2}=\frac{\pi^2}{6}$
[/mm]
Wenn also [mm] $ln^2(x)*x [/mm] > [mm] x^2$, [/mm] muss die Summe auch konvergieren.
Das ist aber hier leider nicht der Fall.
Ich bin hier aufgeschmissen. Hat jemand einen Tipp für mich?
Gruß,
Johann
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Hallo,
versuch's mal mit dem Quotientenkriterium.
Gruß v. Angela
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Ich glaube nicht, daß das mit dem Quotientenkriterium funktioniert. Ich schlage Folgendes vor:
Es gilt
[mm]\int_2^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \, \ln^2{x}} \leq \sum_{n=2}^{\infty}~\frac{1}{n \, \ln^2{n}} \leq \frac{1}{2 \, \ln^2{2}} + \int_2^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \, \ln^2{x}}[/mm]
wobei das Integral konvergiert (sein Wert kann sogar mit der Substitution [mm]u = \ln{x}[/mm] berechnet werden). Skizziere dir dazu den Graphen der reellen Funktion [mm]x \mapsto \frac{1}{x \, \ln^2{x}} \, , \ x>1[/mm] und betrachte geeignete Ober- und Untersummen des Integrals.
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> Ich glaube nicht, daß das mit dem Quotientenkriterium
> funktioniert.
Hallo,
ich mußte eben beim nochmaligen Nachdenken darüber auch feststellen, daß das nicht zum Ziel führt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Phoney |
> Es gilt
>
> [mm]\int_2^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \, \ln^2{x}} \leq \sum_{n=2}^{\infty}~\frac{1}{n \, \ln^2{n}} \leq \frac{1}{2 \, \ln^2{2}} + \int_2^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \, \ln^2{x}}[/mm]
Dankeschön, das bringt mich weiter.
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