Konvergenz Verteilungsfkt´en < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] F_n, F [/mm] Verteilungsfunktionen, [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] F_n(x) \to F(x), \forall x \in S(F) [/mm]. Zeigen Sie:
[mm] F^{-1}_n (x) \to F^{-1} (x), \forall x \in S(F^{-1}) [/mm] |
Hallo,
Hier sei
[mm]S(F) = \left\{ x \in \IR : f \;stetig \;in \;x \right\} [/mm]
Es gilt:
[mm] F^{-1} (x) = inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} = \left[a, \infty\right) [/mm]
Also:
[mm] \lim_{n \to \infty}F^{-1}_n (x)
= \lim_{n \to \infty}inf\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\} [/mm]
da [mm] F_n [/mm] stetig:
[mm] = \lim_{n \to \infty}min\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\} [/mm]
mit [mm] min\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\} =: a_n[/mm]:
[mm] = \lim_{n \to \infty}a_n[/mm]
da [mm] F_n(x) \to F(x) [/mm]:
[mm] = \left[a, \infty\right) [/mm]
[mm] = min\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\}[/mm]
[mm] = inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} [/mm]
[mm] = F^{-1} (x) [/mm]
[mm] => \lim_{n \to \infty}F^{-1}_n (x) = F^{-1} (x) [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich hab's jetzt nur kurz überflogen, aber:
> Seien [mm]F_n, F[/mm] Verteilungsfunktionen, [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]F_n(x) \to F(x), \forall x \in S(F) [/mm].
> Zeigen Sie:
>
> [mm]F^{-1}_n (x) \to F^{-1} (x), \forall x \in S(F^{-1})[/mm]
>
> Hallo,
>
> Hier sei
>
> [mm]S(F) = \left\{ x \in \IR : f \;stetig \;in \;x \right\}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]F^{-1} (x) = \red{inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} = \left[a, \infty\right)}[/mm]
das Infimum über eine Menge reeller Zahlen ist doch eine reelle Zahl oder [mm] $-\infty$. [/mm] Wie soll dieses Infimum mit der Menge [mm] $[a,\infty)$ [/mm] übereinstimmen? Also was ist der Sinn der obigen Gleichheit? Sie macht keinen!
Ob das nun für Deinen Beweis aber auch eigentlich egal ist, weiß ich gerade nicht...
Beste Grüße,
Marcel
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> Hallo,
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> ich hab's jetzt nur kurz überflogen, aber:
> > Seien [mm]F_n, F[/mm] Verteilungsfunktionen, [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]F_n(x) \to F(x), \forall x \in S(F) [/mm].
> > Zeigen Sie:
> >
> > [mm]F^{-1}_n (x) \to F^{-1} (x), \forall x \in S(F^{-1})[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > Hier sei
> >
> > [mm]S(F) = \left\{ x \in \IR : f \;stetig \;in \;x \right\}[/mm]
>
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]F^{-1} (x) = \red{inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} = \left[a, \infty\right)}[/mm]
>
> das Infimum über eine Menge reeller Zahlen ist doch eine
> reelle Zahl oder [mm]-\infty[/mm]. Wie soll dieses Infimum mit der
> Menge [mm][a,\infty)[/mm] übereinstimmen? Also was ist der Sinn der
> obigen Gleichheit? Sie macht keinen!
>
> Ob das nun für Deinen Beweis aber auch eigentlich egal
> ist, weiß ich gerade nicht...
>
> Beste Grüße,
> Marcel
[mm]F^{-1} (x) = inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} = a[/mm]
Muss es natürlich heißen. ICh glaube aber das ändert nix am "Beweis"!?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 15.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 14.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm]F_n, F[/mm] Verteilungsfunktionen, [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]F_n(x) \to F(x), \forall x \in S(F) [/mm].
> Zeigen Sie:
>
> [mm]F^{-1}_n (x) \to F^{-1} (x), \forall x \in S(F^{-1})[/mm]
>
> Hallo,
>
> Hier sei
>
> [mm]S(F) = \left\{ x \in \IR : f \;stetig \;in \;x \right\}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]F^{-1} (x) = inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} = \left[a, \infty\right)[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}F^{-1}_n (x)
= \lim_{n \to \infty}inf\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> da [mm]F_n[/mm] stetig:
>
> [mm]= \lim_{n \to \infty}min\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> mit [mm]min\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\} =: a_n[/mm]:
>
> [mm]= \lim_{n \to \infty}a_n[/mm]
>
> da [mm]F_n(x) \to F(x) [/mm]:
>
> [mm]= \left[a, \infty\right)[/mm]
>
> [mm]= min\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> [mm]= inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> [mm]= F^{-1} (x)[/mm]
>
> [mm]=> \lim_{n \to \infty}F^{-1}_n (x) = F^{-1} (x)[/mm]
Ich habe Probleme, Dir durch diese (aus meiner Sicht) widersprüchliche Notationen zu folgen.
Wenn ich es richtig verstanden habe, lautet die Voraussetzung: Wenn F bei [mm] x_0 [/mm] stetig ist, konvergiere [mm] F_n(x_0) [/mm] gegen F(x) wobei [mm] F_n [/mm] und F Verteilungsfunktionen sind.
Zu zeigen sei dann: Wenn [mm] G_F [/mm] bei [mm] y_0 [/mm] stetig ist, konvergiere [mm] G_{F_n}(y_0) [/mm] gegen [mm] G_F(y_0), [/mm] wobei [mm] G_F(y):=\inf\{x:F(x)\ge y\} [/mm] die verallgemeinerte Inverse einer Verteilungsfunktion definiere.
Um Dir besser folgen zu können, wäre es schön, wenn Du entweder eine Gleichungskette
[mm] \limes_{n\to\infty} G_{F_n}(y_0)=...=G_F(y_0)
[/mm]
mit Kommentar für jedes Gleichheitszeichen vorlegen könntest, oder eine entsprechende Abschätzung
[mm] |G_{F_n}(y_0)-G_F(y_0)|\le...\le\epsilon
[/mm]
angibts, die immer dann erfüllt ist, wenn man n hinreichend groß wählt, wenn es also ein [mm] n(x_0,\epsilon) [/mm] gibt, so dass sie für [mm] n\ge n(y_0,\epsilon) [/mm] erfüllt ist.
LG
gfm
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Eine wunderschönen guten Morgen!
Entschuldigung das ich so spät reagiere, aber ich hatte Prüfungen.
Okay, also sei [mm] y \in S(F^{-1}) [/mm]:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\{F^{-1}_n(y)\le x \} = \limes_{n\rightarrow\infty}\{ y \in (0;1) | F^{-1}_n(y)\le x \} = \limes_{n\rightarrow\infty}\{ x \in (0;1) | F_n(x) > y \} = \{ x \in (0;1) | F(x) > y \} = \{ y \in (0;1) | F^{-1}(y)> x \} = \{ F^{-1}(y)> x \}[/mm]
[mm] \Rightarrow F^{-1}_n(y) \to F^{-1}(y)[/mm]
Nun zur Begründung, das diese Aussage für alle [mm] y \in S(F^{-1}) [/mm] gilt, folgt daraus das [mm] y [/mm] beliebig war.
Zur Begründung der Gleichungskette habe ich ehrlich gesagt nicht soviel zu sagen. Das sind ja, denke ich doch(?), elementare Umformungen.
Allerdings kann ich das irgendwie nicht glauben. Ich muß bestimmt viele Argumente übersehen, da es mir arg an Grundlagen hapert!
Könnte mir jemande bitte einen Hinweis geben?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Eine wunderschönen guten Morgen!
>
> Entschuldigung das ich so spät reagiere, aber ich hatte
> Prüfungen.
>
> Okay, also sei [mm]y \in S(F^{-1}) [/mm]:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\{F^{-1}_n(y)\le x \} = \limes_{n\rightarrow\infty}\{ y \in (0;1) | F^{-1}_n(y)\le x \} = \limes_{n\rightarrow\infty}\{ x \in (0;1) | F_n(x) > y \} = \{ x \in (0;1) | F(x) > y \} = \{ y \in (0;1) | F^{-1}(y)> x \} = \{ F^{-1}(y)> x \}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow F^{-1}_n(y) \to F^{-1}(y)[/mm]
>
1)
Was meinst Du mit dem Limes in
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\{F^{-1}_n(y)\le x \}
[/mm]
denn [mm] \{F^{-1}_n(y)\le x \} [/mm] soll ja offenbar eine Menge bezeichnen. Zumindest machen das die geschweiften Klammern glauben.
2)
Wenn [mm] \{F^{-1}_n(y)\le x \} [/mm] eine Menge bezeichnen soll, dann ist nicht klar, welche Menge exakt damit bezeichnet werden soll, dann es treten zwei Variablen auf, die nur in Relation stehen ohne dass eine Grundmenge für mindestens eine bezeichnet ist.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 Di 20.07.2010 | | Autor: | coffeee5000 |
Hmm, also ich habe mir das ungefähr so vorgestellt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(y) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} inf\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \} [/mm] $
nun kann man $ [mm] \{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \} [/mm] =: [mm] \left[a_n ; \infty \right)$ [/mm] setzen und aus $ [mm] F_n(y) \to [/mm] F(y) $ folgt mit $ F(y) =: a $, dass
$ [mm] \left[a_n ; \infty \right) \to \left[a ; \infty \right) [/mm] $
Also $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(y) [/mm] = a = [mm] inf\{y\in \IR\ | F(y) \ge x \} [/mm] = F(y)$
Ungefähr so schwebt mir das im Kopf herum, aber ich kann es nicht präziser ausdrücken. Diesmal habe ich glaube wirklich nur Limite von reellen Zahlen gebildet. Zumindest dieser Mangel sollte beseitigt sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 21.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hmm, also ich habe mir das ungefähr so vorgestellt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(y) = \limes_{n\rightarrow\infty} inf\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \}[/mm]
Du meinst sicher
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(x) = \limes_{n\rightarrow\infty} \inf\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \}[/mm]
>
> nun kann man [mm]\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \} =: \left[a_n ; \infty \right)[/mm]
> setzen und aus [mm]F_n(y) \to F(y)[/mm]
Das gilt aber nicht für die Unstetigkeitsstellen von F.
>folgt mit [mm]F(y) =: a [/mm], dass
> [mm]\left[a_n ; \infty \right) \to \left[a ; \infty \right)[/mm]
Wie ist diese Mengenkonvergenz definiert? [mm] a_n [/mm] ist bei Dir ein Wert aus dem Argumentbereich von [mm] F_n [/mm] und a ein Wert aus dem Bildbereich von F. Das paßt nicht.
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(y) = a = inf\{y\in \IR\ | F(y) \ge x \} = F(y)[/mm]
>
> Ungefähr so schwebt mir das im Kopf herum, aber ich kann
> es nicht präziser ausdrücken. Diesmal habe ich glaube
> wirklich nur Limite von reellen Zahlen gebildet. Zumindest
> dieser Mangel sollte beseitigt sein.
Leider nicht. Aber ich habe auch noch keine Lösung. Wäre schön, wenn sich auch andere daran beteiligen würden.
Man muss ja irgendwie sinnvoll die Voraussetzungen einbauen. Wenn's nicht stört laß uns [mm] G_F [/mm] für die Pseudoinverse einer Verteilungsfunktion F verwenden. Fassen wir noch einmal zusammen was wir haben. :
(A) [mm] F_n,F [/mm] seien Verteilungsfunktionen.
(B) F stetig in [mm] x_0\Rightarrow \limes_{n\to\infty}F_n(x_0)=F(x_0)
[/mm]
Sei [mm] G_F(y):=\inf\{x\in\IR:y\le F(x)\} [/mm] die Def. der Pseudoinv.
Zu zeigen:
(C) [mm] G_F [/mm] stetig in [mm] y_0\Rightarrow \limes_{n\to\infty}G_F(y_0)=G_{F_n}(y_0)
[/mm]
Ich habe es versucht mit einer Folge [mm] y_n\to y_0 [/mm] mit einem [mm] y_0, [/mm] an dem [mm] G_F [/mm] stetig ist. Dann gilt
[mm] |G_{F_n}(y_0)-G_F(y_0)|=|G_{F_n}(y_0)-G_F(y_n)+G_F(y_n)-G_F(y_0)|\le |G_{F_n}(y_0)-G_F(y_n)|+|G_F(y_n)-G_F(y_0)|
[/mm]
Da der hintere Summand wegen der vorausgesetzten Stetigkeit beliebig klein wird, ist jetzt zu zeigen dass [mm] |G_{F_n}(y_0)-G_F(y_n)| [/mm] beliebig klein wird. Wegen der Definition über das Infimum existieren (monoton fallende)Folgen mit
[mm]\limes_{k\to\infty} x^{(0)}_{n,k}=G_{F_n}(y_0)[/mm] und [mm]\limes_{k\to\infty} x_{n,k}=G_F(y_n)[/mm] (*)
sowie für beliebige [mm]\delta^{(0)}[/mm],[mm]\delta>0[/mm]
[mm]F_n(G_{F_n}(y_0)-\delta^{(0)})
Meine Idee war, zu schreiben
[mm] |G_{F_n}(y_0)-G_F(y_n)|=|G_{F_n}(y_0)-x^{(0)}_{n,k}+x^{(0)}_{n,k}-G_F(y_n)+x_{n,k}-x_{n,k}|\le|G_{F_n}(y_0)-x^{(0)}_{n,k}|+|G_F(y_n)-x_{n,k}|+|x^{(0)}_{n,k}-x_{n,k}|
[/mm]
und dann zu einer geeigneten Teilfolge bezüglich k überzugehen, um damit zu zeigen, dass die ersten beiden Summanden beliebig klein werden, so dass dann wiederum [mm] |x^{(0)}_{n,k}-x_{n,k}| [/mm] bliebe, von dem nun zu zeigen ist, das er beliebig klein wird.
Irgendwie muss jetzt (*), (**), (B) und die Tatsache, dass [mm] y_n\to [/mm] y gilt, ins Spiel kommen.
LG
gfm
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Guten Morgen, ich habs eben nur fix überflogen.
Ich muss nun auf Arbeit, also nicht wundern wenn ich erst später reagiere.
Danke trotzdem schonmal.
MFG coffeee5000
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> > Hmm, also ich habe mir das ungefähr so vorgestellt:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(y) = \limes_{n\rightarrow\infty} inf\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \}[/mm]
>
> Du meinst sicher
Meinte ich, sorry!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}_n(x) = \limes_{n\rightarrow\infty} \inf\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \}[/mm]
>
> >
> > nun kann man [mm]\{y\in \IR\ | F_n(y) \ge x \} =: \left[a_n ; \infty \right)[/mm]
> > setzen und aus [mm]F_n(y) \to F(y)[/mm]
>
> Das gilt aber nicht für die Unstetigkeitsstellen von F.
Aber wir betrachten doch nur die Stetigkeitsstellen von [mm] F(x) [/mm]
>
> >folgt mit [mm]F(y) =: a [/mm], dass
> > [mm]\left[a_n ; \infty \right) \to \left[a ; \infty \right)[/mm]
Da meinte ich eigentlich: [mm] \inf\{x\in\IR:y\le F(x)\} =: a [/mm]
>
> Wie ist diese Mengenkonvergenz definiert? [mm]a_n[/mm] ist bei Dir
> ein Wert aus dem Argumentbereich von [mm]F_n[/mm] und a ein Wert aus
> dem Bildbereich von F. Das paßt nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Do 22.07.2010 | | Autor: | gfm |
> > > setzen und aus [mm]F_n(y) \to F(y)[/mm]
> >
> > Das gilt aber nicht für die Unstetigkeitsstellen von F.
>
> Aber wir betrachten doch nur die Stetigkeitsstellen von
> [mm]F(x)[/mm]
Nicht ganz. Wir sollen die Konvergenz der [mm] F_n^{-1} [/mm] gegen [mm] F^{-1} [/mm] an deren Stetigkeitsstellen nachweisen und dürfen benutzen, dass [mm] F_n [/mm] gegen F an deren Stetigkeitsstellen konvergiert, was uns aber nicht vor einer Konfrontation mit [mm] F_n(x) [/mm] schützt für den Fall, dass F nicht stetig bei x ist, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Fr 23.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm]F_n, F[/mm] Verteilungsfunktionen, [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]F_n(x) \to F(x), \forall x \in S(F) [/mm].
> Zeigen Sie:
>
> [mm]F^{-1}_n (x) \to F^{-1} (x), \forall x \in S(F^{-1})[/mm]
>
> Hallo,
>
> Hier sei
>
> [mm]S(F) = \left\{ x \in \IR : f \;stetig \;in \;x \right\}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]F^{-1} (x) = inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\} = \left[a, \infty\right)[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}F^{-1}_n (x)
= \lim_{n \to \infty}inf\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> da [mm]F_n[/mm] stetig:
>
> [mm]= \lim_{n \to \infty}min\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> mit [mm]min\left\{ y \in \IR : F_n(y)\ge x \right\} =: a_n[/mm]:
>
> [mm]= \lim_{n \to \infty}a_n[/mm]
>
> da [mm]F_n(x) \to F(x) [/mm]:
>
> [mm]= \left[a, \infty\right)[/mm]
>
> [mm]= min\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> [mm]= inf\left\{ y \in \IR : F(y)\ge x \right\}[/mm]
>
> [mm]= F^{-1} (x)[/mm]
>
> [mm]=> \lim_{n \to \infty}F^{-1}_n (x) = F^{-1} (x)[/mm]
Nun vielleicht geht es auch anders:
Wenn Verteilungsfunktionenen [mm] F_n, [/mm] F an den Stetigkeitsstellen von F gilt [mm] F_n(x)\to [/mm] F(x), so ist das eine äquivalente Formulierung dafür, dass für die Bildmaße [mm] P_{X_n}, P_X [/mm] von Zufallsvariablen [mm] X_n, [/mm] X, die eben diese Verteilungsfunktionen besitzen, gilt, dass [mm] P_{X_n} [/mm] schwach gegen [mm] P_X [/mm] konvergiert, was per Definitionem das Bestehen von [mm] \integral fdP_{X_n}\to \integral fdP_{X} [/mm] für jede beschränkte und stetige Funktion ist, was auch in der Form [mm] \integral f(X_n)dP\to \integral [/mm] f(X)dP geschrieben werden kann. Nun haben [mm] X_n:=F^{-1}_n, X:=F^{-1} [/mm] auf (0,1) mit [mm] P=\lambda^1 [/mm] die Verteilungen [mm] F_n [/mm] und F. Darum gilt für jede beschränkte stetige Funktion f
[mm] \integral^1_0f(F^{-1}_n(y))dy\to\integral^1_0f(F^{-1}(y))dy. [/mm] (*)
Meine Hoffnung besteht nun darin, spezielle Funktionen f konstruieren zu können, mit denen man den Beweis zu Ende bringt.
LG
gfm
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Hallo, also ich danke euch für eure Bemühungen, vllt liegt es auch nur daran das ich kaum etwas verstehe, aber ich finde das eure Vorschläge zu weit ausholen. Ich bin einfach der Meinung das diese Aufgabe "leichter" zu lösen sein muß.
Ich muß auch zugeben das ich etwas vllt entscheidendes vergessen habe. Unser Dozent gab uns einen Hinweis. Wir haben einen Exkurs über Quantilfunktionen und Quantile, diesen sollten/könnten wir benutzen.
Ich werde ihn euch im folgenden aufschreiben:
Exkurs: Quantilfunktionen und Quantile
[mm] F: \IR \to [0,1] [/mm] sei eine Verteilungsfunktion, d.h. also [mm] F [/mm] ist monoton wachsend, rechtsseitig stetig,
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} F(x) = 0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} F(x) = 1 [/mm].
Wegen dieser Eigenschaften gilt für [mm] y \in (0,1) [/mm]
(1) [mm] \{F \ge y \} = \{x \in \IR | F(x) \ge y \} = [a,\infty)[/mm] für ein [mm] a \in \IR [/mm].
Die Abbildung
[mm] F^{-1}:(0,1) \to \IR [/mm], [mm] F^{-1}(y) := min\{x \in \IR | F(x) \ge y \} = sup\{x \in \IR | F(x) < y \} (=a) [/mm]
heißt Quantilfunktion oder verallgemeinerte Inverse von [mm] F [/mm]. (Ist [mm] F [/mm] injektiv mit [mm] F(\IR) = (0,1)[/mm], dann ist [mm] F^{-1} [/mm] tatsächlich die Umkehrfunktion von [mm] F [/mm]. [mm] F^{-1} [/mm] ist hier natürlich nicht die Urabbildung.) Offenbar ist [mm] F^{-1} [/mm] monoton wachsend und
(2) [mm] F(x) \ge y \gdw F^{-1} \le x [/mm] für [mm] x \in \IR[/mm], [mm]y \in (0,1) [/mm].
Diese Beziehung impliziert
(3) [mm] \{F^{-1} \le x \} = \{y \in (0,1) | F^{-1}(y) \le x \} = \{y \in (0,1) | F(x) \ge y \} = (0,1) \cap (0,F(x)] \in \mathcal{B}((0,1))[/mm] für [mm] x \in \IR [/mm].
Insbesondere ist [mm] F^{-1} [/mm] Borel-messbar.
(4) [mm] F [/mm] ist die Verteilungsfunktion der Verteilung [mm] U(0,1)^{F^{-1}} [/mm].
Beweis: Mit (3) gilt [mm] U(0,1)^{F^{-1}}((-\infty,x]) = U(0,1)(\{y \in (0,1) | F^{-1}(y) \le x \}) = \lambda((0,1) \cap (0,F(x])) = F(x) [/mm] für [mm] x \in \IR [/mm].
Weiter gilt
(5) [mm] \{F > y \} = \{x \in \IR | F(x) > y \} = \left\langle b, \infty) [/mm] ([mm] [b,\infty) [/mm] oder [mm] (b,\infty) [/mm]) für ein [mm] b \in \IR [/mm]
und daher
[mm] inf\{x \in \IR | F(x) > y \} = sup\{x \in \IR | F(x) \le y \} [/mm] ([mm] = b [/mm]) [mm] \le F^{-1}(y) [/mm] für ein [mm] y \in (0,1) [/mm].
Die linke Seite ist der rechtsseitige Grenzwert [mm] F^{-1}(y+) [/mm] von [mm] F^{-1} [/mm] an der Stelle [mm] y [/mm]:
(6) [mm] F^{-1} [/mm] ist linksseitig stetig und [mm] F^{-1}(y+) = inf\{x \in \IR | F(x) > y \} [/mm], [mm] y \in (0,1) [/mm].
Beweis: Seien [mm] y_n \in (0,1) [/mm], [mm] y_n < y [/mm], [mm] y_n \to y [/mm] und [mm] a_n = F^{-1}(y_n)[/mm]. Dann ist [mm] (a_n) [/mm] eine monoton wachsende Folge und es gilt
[mm] \{ F \ge y_n \} = [a_n, \infty) [/mm], [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}\{ F \ge y_n \} = \{ F \ge y \} [/mm]
und [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,\infty) [/mm] mit [mm] a = \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm].
Es folgt [mm] \{F \ge y \} = [a,\infty)[/mm] und damit [mm] F^{-1}(y) = a = \limes_{n\rightarrow\infty} F^{-1}(y_n) [/mm]. Dies zeigt die linksseitige Stetigkeit von [mm] F^{-1} [/mm].
Für [mm] y_n \in (0,1) [/mm], [mm] y_n > y [/mm], [mm] y_n \to y [/mm], ist [mm] (a_n) = (F^{-1}(y_n)) [/mm] eine monoton fallende Folge und [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}\{ F \ge y_n \} = \{ F \ge y \}[/mm], [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}[a_n,\infty) = \left\langle a, \infty) [/mm] mit [mm] a = \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm].
Dies liefert [mm] \{F > y \} = \left\langle a, \infty) [/mm], also
[mm] F^{-1}(y+) = \limes_{n\rightarrow\infty}F^{-1}(y_n) = a = inf\{x \in \IR | F(x) > y \} [/mm]
Ferner gilt noch
(7) [mm] F(x-) \le y \gdw F^{-1}(y+) \ge x [/mm] für [mm] x \in \IR [/mm], [mm] y \in (0,1) [/mm].
Beweis: Für [mm] z < x \le F^{-1}(y+) [/mm] gilt [mm] F(z) \le y [/mm] und damit [mm] F(x-) \le y [/mm] und [mm] F(z) > y [/mm]. Dies impliziert mit (6)
[mm] F^{-1}(y+) = inf\{x \in \IR | F(x) > y \} \ge x[/mm].
Der Rest geht über die Quantile, die , wenn ich mich nicht total täusche, hier unwichtig sind.
Gott, was ne Arbeit ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Fr 23.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo, also ich danke euch für eure Bemühungen, vllt
> liegt es auch nur daran das ich kaum etwas verstehe, aber
> ich finde das eure Vorschläge zu weit ausholen. Ich bin
> einfach der Meinung das diese Aufgabe "leichter" zu lösen
> sein muß.
> Ich muß auch zugeben das ich etwas vllt entscheidendes
> vergessen habe. Unser Dozent gab uns einen Hinweis. Wir
> haben einen Exkurs über Quantilfunktionen und Quantile,
> diesen sollten/könnten wir benutzen.
> Ich werde ihn euch im folgenden aufschreiben:
>
Ich ich kenne das: ![[]](/images/popup.gif) ExkursQuantile2010
Aber wie Du schon sagts: Gott, was ne Arbeit. Aber offenbar geht's halt nicht so einfach wie Du denkst. Mir war das auch zu kompliziert. Deswegen habe ich ja den Weg über die Integrale gesucht.
Ich habe einen neuen Thread gestartet.
LG
gfm
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), müßte mich zur genauen Korrektur also erstmal nochmal ein wenig "einlesen"; daher überlasse ich das Feld jmd., der gerade fitter in Wt ist 