Konvergenz, absolute Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie Folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n}/\wurzel{k+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{k}/\wurzel{k} [/mm] |
So also ich weiß so ungefähr wie es geht. ;) Man muss das nach derm Quotientenkriterium machen, bei der a hab ich auch was raus:
Beh: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n}/\wurzel{k+1} [/mm] absolut konvergent
Bew: [mm] \vmat{a_{k+1}/a_{k}}=\vmat{(-1)^{n}/\wurzel{k+2}/(-1)^{n}/\wurzel{k+1}= \wurzel{k+1}/(-1)^{n}*(-1)^{n}/\wurzel{k+2}}= \wurzel{k+1}/\wurzel{k+2} [/mm] < 8/10 =: q für alle k [mm] \in \IN
[/mm]
ich bin mir aber hier nicht sicher, ob ich das [mm] (-1)^{n} [/mm] einfach kürzen darf oder nicht. wenn es ginge so wie ich es gemacht habe, wäre diese Reihe absolut konvergent für 0<8/10<1
Allerdings weiß ich jetzt nicht genau wie ich es bei der b machen sol, weil wenn ich es nach demselben Prinzip wie oben mache finde ich kein q für die reihe das kleiner als eins ist, aber trotzdem größer als der Wert für k=1 kann ich auch anders zeigen das die Reihe konvergent ist?
wär schön wenn ihr mir helfen könntet...
mfg Schneckal
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| Aufgabe | Untersuchen sie Folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n}/\wurzel{k+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{k}/\wurzel{k} [/mm] |
So also ich weiß so ungefähr wie es geht. ;) Man muss das nach derm Quotientenkriterium machen, bei der a hab ich auch was raus:
Beh: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n}/\wurzel{k+1} [/mm] absolut konvergent
Bew: [mm] \vmat{a_{k+1}/a_{k}}=\vmat{(-1)^{n}/\wurzel{k+2}/(-1)^{n}/\wurzel{k+1}}= \wurzel{k+1}/(-1)^{n}*(-1)^{n}/\wurzel{k+2}= \wurzel{k+1}/\wurzel{k+2} [/mm] < 8/10 =: q für alle k [mm] \in \IN
[/mm]
ich bin mir aber hier nicht sicher, ob ich das [mm] (-1)^{n} [/mm] einfach kürzen darf oder nicht. wenn es ginge so wie ich es gemacht habe, wäre diese Reihe absolut konvergent für 0<8/10<1
Allerdings weiß ich jetzt nicht genau wie ich es bei der b machen sol, weil wenn ich es nach demselben Prinzip wie oben mache finde ich kein q für die reihe das kleiner als eins ist, aber trotzdem größer als der Wert für k=1 kann ich auch anders zeigen das die Reihe konvergent ist?
wär schön wenn ihr mir helfen könntet...
mfg Schneckal
ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt
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Hallo schneckal,
> Untersuchen sie Folgende Reihen auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz:
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> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n}/\wurzel{k+1}[/mm]
steht da wirklich [mm] (-1)^{n} [/mm] und nicht vllt. [mm] (-1)^k [/mm] ?
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} 2^{k}/\wurzel{k}[/mm]
> So also ich weiß
> so ungefähr wie es geht. ;) Man muss das nach derm
> Quotientenkriterium machen, bei der a hab ich auch was
> raus:
>
> Beh: [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n}/\wurzel{k+1}[/mm] absolut
> konvergent ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Uiiii, bitte nicht !! 
Eine Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] heißt absolut konvergent, falls [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\blue{|}a_k\blue{|}$ [/mm] konvergent ist
Und [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\right|=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
[/mm]
Ist das Biest konvergent??
Deine Reihe in (a) ist ja eine alternierende (falls da [mm] (-1)^\red{k} [/mm] steht), Stichwort Leibnitzkriterium....
>
> Bew:
[mm] \vmat{a_{k+1}/a_{k}}=\vmat{(-1)^n\wurzel{k+2}/(-1)^n/\wurzel{k+1}}= \wurzel{k+1}/\red{1}*\red{1}/\wurzel{k+2}=
[/mm]
es ist doch [mm] |(-1)^n|=|-1|^n=1^n=1
[/mm]
= [mm] \wurzel{k+1}/\wurzel{k+2} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$ [mm] \longrightarrow [/mm] 1$ für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Du musst doch den [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ [/mm] betrachten !!!
Der ist 1, also ist keine Aussage bzgl. Konvergenz mit dem QK möglich
> < 8/10 =: q für alle k [mm]\in \IN[/mm]
>
> ich bin mir aber hier nicht sicher, ob ich das [mm](-1)^{n}[/mm]
> einfach kürzen darf oder nicht. wenn es ginge so wie ich es
> gemacht habe, wäre diese Reihe absolut konvergent für
> 0<8/10<1 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was bedeutet das?
>
> Allerdings weiß ich jetzt nicht genau wie ich es bei der b
> machen sol, weil wenn ich es nach demselben Prinzip wie
> oben mache finde ich kein q für die reihe das kleiner als
> eins ist, aber trotzdem größer als der Wert für k=1 kann
> ich auch anders zeigen das die Reihe konvergent ist?
Was ist denn ein NOTWENDIGES Kriterium für die Konvergenz einer Reihe?
Das sollte man immer zuerst im Blick haben, bevor man sich auf Wurzel-/Quotienten- oder Vergleichskriterium stürzt...
> wär schön wenn ihr mir helfen könntet...
> mfg Schneckal
>
>
> ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt
LG
schachuzipus
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hmmm, ich weiß auch nicht, wir haben das in der Uni in der Vorlesung aber auch immer ohne Limes gemacht! Und bei der a) heißt es wirklich [mm] (-1)^{n} [/mm] und nicht hoch k. Deswegen dachte ich das ist einfach eine Konstante, die kann ich dann raushauen.
Quotientenkriterium: Sei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] eine komplexe Reihe, [mm] a_{k} \not= [/mm] 0 für alle k. Es gebe ein q [mm] \in \IR [/mm] mit 0<q<1 so dass [mm] \vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}}
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schneckal!
Aber (wie bereits erwähnt) ist Deine abschätzung $... \ < \ [mm] \bruch{8}{10}$ [/mm] falsch.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schneckal!
Ist denn bei Aufgabe b.) das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz erfüllt? Sprich: Ist [mm] $\bruch{2^k}{\wurzel{k}}$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schneckal!
Für die "normale Konvergenz" solltest Du mal Richtung Leibniz-Kriterium denken.
Für die absolute Konvergenz, die Du gerade untersuchst, kommt am Ende aber als Grenzwert $1_$ heraus, so dass keine Aussage möglich ist mit dem Quotientenkriterium.
Schätze hier doch mal ab, z.B. gegen die harmonische Reihe ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Schneckal!
Noch einige Anmerkungen / Hinweise ...
Zum einen muss es bei Deinem Quotientenkriterium $\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| \ = \ \left|\bruch{ \bruch{(-1)^{k \red{+1}} }{\wurzel{k+2}}}{\bruch{(-1)^k}{\wurzel{k+1}}\right| \ = \ ...$ heißen.
Das kürzt sich dann zu eine (-1)_$ zusammen und kann dann wegen der Betragsstriche entfallen.
Deine Abschätzung $... \ < \ \bruch{8}{10}$ ist falsch. Wie kommst Du auf diesen Wert?
Zudem hat der Wert der Abschätzung nichts mit dem Bereich der Konvergenz zu tun, sondern gibt für $q \ < \ 1$ lediglich an, dass eine Reihe konvergiert.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schneckal!
Bitte hier innerhalb des MatheRaumes keine Doppelposts einstellen.
Gruß
Loddar
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Ja ich weiß schon tut mir leid das mit dem Doppelpost, das hab ich nicht gemerkt ghabt und ich wusste nicht wie ichs löschen kann.
Also das Leibnizkriterium haben wir aber noch nicht gemacht, also kann ich damit auch nicht argumentieren!
Und auf den Wert komm ich, indem ich dann bei dem letzen Term [mm] \wurzel{k+1}/\wurzel{k+2} [/mm] den Wert eins einesetzt habe, da kamm dann ca. 0,8 raus, also 8/10, aber du hast recht es muss dann 9/10 sein, weil der Wert ja größer sein muss als das was rauskommt, aber kleiner als 1. So haben wir das in der Vorlesung auch gemacht...
Wie kann ichs denn sonst machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schneckal!
Auch die Abschätzung mit [mm] $\bruch{9}{10}$ [/mm] stimmt nicht, da sich der Term [mm] $\bruch{\wurzel{k+1}}{\wurzel{k+2}}$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] dem Wert $1_$ beliebig nahe kommt. Das Quotientenkriterium ist hier also nicht aussagekräftig.
Gehe hier mit dem Minorantenkriterium vor (wie oben angedeutet).
Für die "normale Konvergenz" sehe ich keinen Alternativweg als Herrn Leibniz.
Gruß
Loddar
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Okay, ich habe es jetzt noch einmal versucht mit dem Quotientenkriterium:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+1}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}}= \vmat{\bruch{\bruch{1}{(k+1)^{2}+1}}{\bruch{1}{k^{2}+1}}}= \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{k^{2}+1}{k^{2}+2k+2}}= \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{1+\bruch{1}{k^{2}}}{1+\bruch{2}{k}+\bruch{2}{k^{2}}}}= [/mm] 1
Also keine Aussage möglich
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k+1}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{k+2}}}{\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k+1}}}}= \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{\wurzel{k+1}}{(-1)^{k}}\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{k+2}}}= \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{(-1) \bruch{\wurzel{k+1}}{\wurzel{k+2}}}=-1
[/mm]
--> q kleiner als 1, also konvergiert die Reihe absolut
c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k}}{\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{\bruch{2^{k+1}}{\wurzel{k+1}}}{\bruch{2^{k}}{\wurzel{k}}}}=\limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{\wurzel{k}}{2^{k}}\bruch{2^{k+1}}{\wurzel{k+1}}}= \limes_{k\rightarrow\infty} \vmat{2 \bruch{\wurzel{k}}{\wurzel{k+1}}}=2
[/mm]
--> q größer als eins, die Reihe divergiert
hab ich das jetzt so richtig gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Sa 08.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zub) EIN Betrag ist IMMER größer gleich 0 das ist der Sinn von Betragsstrichen!
habt ihr die "harmonische" Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/k [/mm] nicht in der Vorlesung besprochen? dann vergleich mal a)
Von welchen Reihen kennst du den aus der Vorlesung die Konvergenz?
Hattet ihr nicht Minioranten und Majorantenkriterium?
Weisst du nicht, dass ne Summe nur konvergieren kann (nicht muss) wenn die Summanden ne Nullfolge bilden?
Da du all diese Aufgaben NICHT mit dem Quotientenkriterium lösen kannst (c)ausgenommen, aber die geht einfacher ohne) solltest du noch mal in dein Skript sehen!! und nach anderen Möglichkeiten suchen.
Gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also bei der a) würde ich eher sagen \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k^2}} trifft da eher zu und die konvergiert! Das die summe aus 1/k divergiert weiß ich schon, aber hier ist es ja 1/k² oder nicht.
dann hatten wir das Majorantenkriterium in der vorlesung aber ich verstehs halt leider nicht und schon gar nicht wie ich es anwenden kann!
und wir haben aufgeschrieben: die reihe \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} sei konvergent. dann ist die Folge (a_{n}) eine Nulfolge.
also setzt man ja voraus das die reihe konvergent ist, das soll ich aber erst zeigen das es so ist!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 08.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast da 2 Aufgaben a)
meine Antwort bezog sich auf [mm] a_k=1/\wurzel{k+1} [/mm] da brauchst du für die absolute konvergenz ne Minorante, für die mit [mm] (-1)^k [/mm] das Leibnitzkriterium, vielleicht habt ihr das nders genannt, es geht um alternierende Reihen aus Nullfolgen.
also z. Bsp [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i*1/i
[/mm]
Gruss leduart
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Also bei der a) würde ich eher sagen [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] trifft da eher zu und die konvergiert! Das die summe aus 1/k divergiert weiß ich schon, aber hier ist es ja 1/k² oder nicht.
dann hatten wir das Majorantenkriterium in der vorlesung aber ich verstehs halt leider nicht und schon gar nicht wie ich es anwenden kann!
und wir haben aufgeschrieben: die reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] sei konvergent. dann ist die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nulfolge.
also setzt man ja voraus das die reihe konvergent ist, das soll ich aber erst zeigen das es so ist!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Schneckal,
bei (a) hast du recht, die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ ist eine konvergente Majorante zu deiner Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+1}$
Du fragtest nach der konkreten Anwendung des Vgl.kriteriums:
ok, es ist doch $k^2+1>k$ und damit $\frac{1}{k^2+1}<\frac{1}{k^2}$
Also $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+1}< \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$
Und $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ ist bekanntermaßen konvergent.
Was bleibt also deiner "armen" kleineren Reihe anderes übrig, als ebenfalls zu konvergieren?
Zur anderen Frage:
Du hast richtig gesagt, dass die Aussage ist:
$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ konvergent $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ ist Nullfolge
Das ist doch äquivalent (Kontraposition: $(p\Rightarrow q)\gdw (\neg q\Rightarrow \neg p)$) zu:
$(a_k)_{k\in\IN}$ ist keine Nullfolge $\Rightarrow\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ nicht konvergent (divergent)
Da $\left(\frac{2^k}{\sqrt{k}}\right)_{k\in\IN$ keine Nullfolge ist, kannst du also sofort auf die Divergenz der Reihe $\sum\frac{2^k}{\sqrt{k}}$ schließen
Gruß
schachuzipus
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