Konvergenz bei Taylorreihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f:[a,b] --> [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar mit [mm] f^{k}(x) \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] und k [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
Zeigen Sie, dass nun die Taylorreihe
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} [/mm] von f an der Stelle a für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] konvergiert und durch f(x) beschränkt ist. |
Hallo.
Ich muss leider sagen, dass ich mit der Aufgabe überfordert bin und auf keinen Ansatz komme.
Kann mir jemand dazu was erklären? Ansätze? Wichitge Hinweise?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] f(x)=T_n(x)+R_n(x) [/mm] falls [mm] R_n(x)\ge0 [/mm] für alle n folgt daraus [mm] f(x)\ge T_n(x)
[/mm]
2. eine monoton steigende beschränkte Folge konvergiert.
Die 2 Überlegungen sollten dir reichen!
Gruss leduart
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Hallo.
danke für deine Antwort.
Ja, es ist klar, dass wenn das Restglied gegen 0 geht, das n-Taylorpolynom durch f(x) beschränkt ist.
aber: ist f(x) selber auch beschränkt? oder ist dies gar nicht wichtig?
auch ist mir klar, dass wenn die Ableitung immer [mm] \ge [/mm] 0 sind, dass dann die Folge monoton steigend ist.
Du sagtest ja, dass sie solche beschränkten Folgen konvergieren, dass ist richtig, aber woher wieß ich, dass diese Folge beschränkt ist?
Also, mein Lösungsansatz ist im Moment die Restgliederabschätzung. Aber welche soll ich nehme? Cauchy? Lagrange?....
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 22.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
f ist beschränkt, da f eine stetige Funktion auf einem kompaktem Intervall ist. Jetzt musst du nur noch die vorher genannten Ansätze zusammensetzten. Wenn du noch Fragen hast, melde dich.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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ah okay. danke.
okay, das heißt ich muss nun noch zeigen, dass [mm] R_n(x) [/mm] gegen 0 geht, und dies mach ich mit Lagrange?
Oder wie kann ich das Restglied abschätzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 So 22.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
in der Aufgabenstellung steht doch gar nicht, dass man zeigen muss, dass die Taylor-Reihe auch wirklich gegen f konvergiert. Also bist du doch dann fertig, weil man das Restglied doch gar nicht abschätzten muss.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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naja, abetr ich soll doch zeugen, dass die Taylorreihe von f an der Stelle a für alle x konvergiert.
und das habe ich somit getan?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 22.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja. Konvergenz der Taylor-Reihe bedeutet einfach, dass die Reihe, die du durch die Taylor-Polynome aufstellst konvergiert. Das Restglied gibt an, welchen Approximationsfehler das n. Taylorpolynom besitzt. Es ist doch nun interessant, ob die Taylor-Reihe bei Konvergenz gerade gegen f konvergiert. Dazu ist zu Überprüfen, ob das Restglied gegen 0 geht. Dann konvergiert nach dem Satz von Taylor die Taylor-Reihe gegen f.
In deiner Aufgabe war lediglich nach Konvergenz gefragt, die wir ja gezeigt haben.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 22.04.2007 | | Autor: | Frisco |
Hallo
ich habe da noch eine verständnisfrage,
und zwar hast du ja geschrieben, dass eine stetige Fkt. im kompakten Intervall konvergiert! Soweit ist es klar! Aber wie gehe ich nun weiter?
warum brauche ich das die Ableitung immer [mm] \ge [/mm] 0 ist? oder überhaupt kannst du mir vllcht mal den ansatz in ne Mathematischen Formel hinschreiben??
wäre net!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 22.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht was du willst.
[mm] 1.f(x)=T_n(x)+R_n(x) [/mm] daraus [mm] T_n=f-R_n
[/mm]
aus den Vors. f{(k)}>0 kann man schliessen [mm] R_n\ge0
[/mm]
deshalb [mm] T_n\le f\le [/mm] const da f in ab beschränkt.
2. die Folge [mm] T_n [/mm] steigt monoton (zu zeigen aus Vors.)
Eine Folge, die monoton steigt und nach oben beschränkt ist konvergiert.
Meinst du das mit Formeln? aber die standen schon alle irgendwo!
Es ist SICHER dass man aus den Vors. nicht auf Konvergenz gegen f schliessen kann!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 So 22.04.2007 | | Autor: | Frisco |
genau darin ist mein Problem wie kann man aus
"aus den Vors. [mm] f^{(k)}>0 [/mm] kann man schliessen [mm] R_{0}\ge0 [/mm] " schließen??
der rest wäre dann klar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Di 24.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 So 22.04.2007 | | Autor: | Frisco |
Kannst du mir nicht vllcht ein bissel helfen?
zu mindestens wie der erste Teil der aufgabe geht?
bekomme das einfach nicht hin
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