Konvergenz bei kompl. Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Skizzieren Sie die Menge aller z [mm] \in \IC [/mm] für welche die folgende Reihe konvergent ist:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}i^{k}*(z-i)^{k} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] a_{n}:=(\bruch{2-i}{2+i})^{n} [/mm] eine Folge komplexer Zahlen. Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz.
Beweisen Sie zunächst, dass der Betrag der Folge für alle n 1 ist und die Folge selbst niemals 1 ist.
Besitzt die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] eine konvergente Teilfolge? |
zu 1:
Ich habe nicht so wirklich Ahnung, wie man mit einer Reihe einer Folge von komplexen Zahlen umgeht. Ich weiß, dass man bei so einer Folge Majorantenkriterium, Wurzelkriterium und Quotientenkriterium anwenden kann. Aber wie das nun bei komplexen Zahlen genau geht, weiß ich nicht.
Ich habe es einfach mal mit dem QK versucht.
Danach müsste der Betrag von i*(z-i) zwischen 0 und 1 sein. Wenn man nun als z=x+i*y nimmt, so folgt 0<|ix-y+1|<1
also nach Definition des Betrages und Umformung: [mm] 0<-x^2+2*y-y^2<1
[/mm]
Aber wie es weitergeht, weiß ich nicht und ich zweifel auch an der Richtigkeit.
zu 2:
So, ich gehe mal stark davon aus, dass diese Folge divergiert, sonst wäre nicht nach einer konvergenten Teilfolge gefragt.
Zu dem Teil mit dem Betrag: Darf man einfach den Exponenten weglassen, da ja [mm] 1^{n}=1 [/mm] ? Dann folgt ja für den Betrag [mm] \wurzel{5}/\wurzel{5}=1
[/mm]
Zu dem Teil, dass [mm] (a_{n}) [/mm] niemals 1 ist:
Ich habs über einen Widerspruch versucht. Sei [mm] a_{n}=1 [/mm]
Nur bin ich mir nicht sicher ob es richtig ist, dass das impliziert, dass die n-te Wurzel aus [mm] a_{n} [/mm] 1 oder i ist (da [mm] i^4=1). [/mm] Oder gibt es andere komplexe Zahlen, sodass eine Potenz 1 ist?
Daraus würde jedenfalls die Widersprüche folgen, dass -i=i bzw. 1=i
Wie man die Folge allerdings konkret auf Konvergenz untersucht, weiß ich nicht? Kann man irgendwie die Abstände der Folgenglieder betrachten und zeigen, dass die Folge der Abstände keine Nullfolge ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> 1. Skizzieren Sie die Menge aller z [mm]\in \IC[/mm] für welche die
> folgende Reihe konvergent ist:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}i^{k}*(z-i)^{k}[/mm]
Im Ansatz war schon was brauchbares dabei. Sei $z=x+iy$ mit $x,y [mm] \in \IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $|i(z-i)|^2 [/mm] = [mm] |z-i|^2= x^2+(y-1)^2$
[/mm]
Also : $|i(z-i)| <1 [mm] \gdw x^2+(y-1)^2<1$
[/mm]
Welche Menge ist das geometrisch ?
FRED
>
> 2. Sei [mm]a_{n}:=(\bruch{2-i}{2+i})^{n}[/mm] eine Folge komplexer
> Zahlen. Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz.
> Beweisen Sie zunächst, dass der Betrag der Folge für
> alle n 1 ist und die Folge selbst niemals 1 ist.
> Besitzt die Folge [mm](a_{n})[/mm] eine konvergente Teilfolge?
> zu 1:
> Ich habe nicht so wirklich Ahnung, wie man mit einer Reihe
> einer Folge von komplexen Zahlen umgeht. Ich weiß, dass
> man bei so einer Folge Majorantenkriterium, Wurzelkriterium
> und Quotientenkriterium anwenden kann. Aber wie das nun bei
> komplexen Zahlen genau geht, weiß ich nicht.
> Ich habe es einfach mal mit dem QK versucht.
> Danach müsste der Betrag von i*(z-i) zwischen 0 und 1
> sein. Wenn man nun als z=x+i*y nimmt, so folgt
> 0<|ix-y+1|<1
> also nach Definition des Betrages und Umformung:
> [mm]0<-x^2+2*y-y^2<1[/mm]
> Aber wie es weitergeht, weiß ich nicht und ich zweifel
> auch an der Richtigkeit.
>
> zu 2:
> So, ich gehe mal stark davon aus, dass diese Folge
> divergiert, sonst wäre nicht nach einer konvergenten
> Teilfolge gefragt.
> Zu dem Teil mit dem Betrag: Darf man einfach den
> Exponenten weglassen, da ja [mm]1^{n}=1[/mm] ? Dann folgt ja für
> den Betrag [mm]\wurzel{5}/\wurzel{5}=1[/mm]
> Zu dem Teil, dass [mm](a_{n})[/mm] niemals 1 ist:
> Ich habs über einen Widerspruch versucht. Sei [mm]a_{n}=1[/mm]
> Nur bin ich mir nicht sicher ob es richtig ist, dass das
> impliziert, dass die n-te Wurzel aus [mm]a_{n}[/mm] 1 oder i ist (da
> [mm]i^4=1).[/mm] Oder gibt es andere komplexe Zahlen, sodass eine
> Potenz 1 ist?
> Daraus würde jedenfalls die Widersprüche folgen, dass
> -i=i bzw. 1=i
> Wie man die Folge allerdings konkret auf Konvergenz
> untersucht, weiß ich nicht? Kann man irgendwie die
> Abstände der Folgenglieder betrachten und zeigen, dass die
> Folge der Abstände keine Nullfolge ist?
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Darf x also zwischen -1 und 1 liegen, da ja beide Quadrate immer positiv sind? Und y müsste dann kleiner sein als [mm] \wurzel{1-x^2}+1 [/mm] und größer als [mm] 1-\wurzel{1-x^2}. [/mm] Ist das so korrekt?
Zu Aufgabe 2:
Zu beweisen, dass [mm] a_{n}\not=1 [/mm] fällt mir etwas schwer, da [mm] a_{1} [/mm] unter der Widerspruchsannahme [mm] a_{n}=1 [/mm] ja nicht nur 1 oder i sein kann, sondern irgendeine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis, sodass der Winkel multipliziert mit einer natürlichen Zahl ein Vielfaches von 360° ergibt. Wie geht man denn nun daran?
Zum Beweis der Divergenz:
Ich habe gezeigt, dass gilt:
[mm] |a_{n}-a_{n+1}|=\bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm] Reicht das um zu zeigen, dass das nicht konvergiert?
Zur konvergenten Teilfolge: Da [mm] (a_{n}) [/mm] nach Definition der Multiplikation komplexer Zahlen (Winkeladdition) den Kreis rundherum läuft gilt doch, dass jedes Element in K (Menge aller Punkte auf dem Kreis) Häufungspunkt ist und somit auch unendlich viele konvergente Teilfolgen existieren. Ist dem denn so?
Ach ja: Zu [mm] a_{n}\not=1 [/mm] gibt es folgenden Tipp:
Sei n in [mm] \IN [/mm] und seien a,b in [mm] \IZ: [/mm] Es existieren keine solchen Zahlen mit [mm] 4^{n}=5*(a^{2}+b^{2}). [/mm] Was man mit diesem Tipp allerdings anfangen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 24.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Salamence,
> Darf x also zwischen -1 und 1 liegen, da ja beide Quadrate
> immer positiv sind? Und y müsste dann kleiner sein als
> [mm]\wurzel{1-x^2}+1[/mm] und größer als [mm]1-\wurzel{1-x^2}.[/mm] Ist das
> so korrekt?
mmh - hast du schon mal an eine Kreisgleichung gedacht?
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 26.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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