Konvergenz bzgl. L1 / L2-Norm < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe eine Verständnisfrage.
In der Vorlesung haben wir das Beispiel [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n}$ [/mm] auf [0,1] gehabt.
Die Grenzfunktion lautet bei punktweiser Konvergenz
$f(x) = [mm] \begin{cases}0, x \in [0,1)\\ 1, x = 1\end{cases}$.
[/mm]
Bei L2-Konvergenz ist aber zum Beispiel $f(x) = 0$ eine Grenzfunktion, und ich schätze, dass ich auch noch endlich viele Werte von f(x) beliebig wählen könnte, und [mm] f_{n}(x) [/mm] trotzdem dagegen konvergieren würde (bzgl. L1/L2 - Norm; das verändert ja am Integral
[mm] $\int_{0}^{1}(f_{n}(x)-f(x))^{2} [/mm] dx$
nichts). Das heißt ja, dass der Grenzwert bzgl L1/L2-Norm gar nicht eindeutig ist?
Wenn ich nun eine Aufgabe der Form "Schauen Sie, ob die Funktionenfolge bzgl. L1 / L2 - Norm" konvergiert habe, so kann ich doch den Grenzwert den Erkenntnissen oben zufolge gar nicht mit der üblichen "punktweisen Konvergenz", also einfach durch Limesbildung bestimmen?
Denn es könnte ja sein, dass es eine Grenzfunktion bzgl. L1/L2-Norm gibt, auf die ich aber mit Limesbildung nie gekommen wäre...
Habe ich Denkfehler in meinen Ausführungen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | | Untersuche, ob die Funktionenfolge [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}}$ [/mm] auf [0,1] bzgl. der [mm] L^{2}-Norm [/mm] bzw. der [mm] L^{1}-Norm [/mm] konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. |
Hallo!
Hier nun eine konkrete Aufgabe zu meinem Problem.
Der punktweise Grenzwert wäre $f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x}}$, [/mm] allerdings nur auf (0,1]. Für x = 0 existiert der Grenzwert nicht.
Wenn [mm] $(f_{n}(x))_{n\in\IN}$ [/mm] bzgl. der [mm] L^{2}-Norm [/mm] konvergieren soll, müsste doch gelten:
[mm] $||f_{n} [/mm] - [mm] f||_{2} [/mm] = [mm] \left(\int_{0}^{1}\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}\ dx\right)^{1/2} \to [/mm] 0$ [mm] (n\to\infty).
[/mm]
Das könnte ich zwar integrieren, aber ist das wirklich Sinn der Sache?
Bei der [mm] L^{1}-Norm [/mm] komme ich ebenfalls nicht weiter:
[mm] $||f_{n} [/mm] - [mm] f||_{1} [/mm] = [mm] \int_{0}^{1}\left|\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right|\ [/mm] dx$
Wie kann ich vorgehen?
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Ich habe mir alternativ noch etwas anderes überlegt. Eventuell kann ich zeigen, dass der Grenzprozess
[mm] $\lim_{n\to\infty}||f_{n}-f||_{1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\left|\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right|\ [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{1}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right|\ [/mm] dx$
mit der Integralbildung vertauschbar ist. Dann müsste ja ohnehin 0 rauskommen, weil das ja wieder Anwendung der punktweisen Konvergenz wäre. Dazu habe ich folgenden Satz:
Die Folge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] von auf einem Intervall [a,b) (uneigentlich) integrierbaren Funktionen [mm] f_{n}:[a,b)\to\IR [/mm] konvergiere punktweise gegen eine Funktion [mm] f:[a,b)\to\IR. [/mm] Ist die Grenzfunktion ebenfalls (uneigentlich) integrierbar, und sind die Funktionen [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig beschränkt durch eine auf [a,b) (uneigentlich) integrierbare Funktion [mm] g:[a,b)\to\IR [/mm] (d.h. [mm] |f_{n}(x)|\le [/mm] g(x) für [mm] x\in [/mm] [a,b), so gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}(x) [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b}\lim_{n\to\infty}f_{n}(x) [/mm] dx$
Ich würde als Funktion g(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x}} [/mm] wählen - aber mit den Intervall kommt das nicht ganz hin, denn ich habe ja eher (a,b]...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Sa 17.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Der punktweise Grenzwert wäre [mm]f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}[/mm],
> allerdings nur auf (0,1]. Für x = 0 existiert der
> Grenzwert nicht
Doch, er ist 0 - wie kommst du auf Nicht-Existenz? f ist also obiges auf (0,1] und 0 bei 0.
> Wenn [mm](f_{n}(x))_{n\in\IN}[/mm] bzgl. der [mm]L^{2}-Norm[/mm] konvergieren
> soll, müsste doch gelten:
>
> [mm]||f_{n} - f||_{2} = \left(\int_{0}^{1}\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}\ dx\right)^{1/2} \to 0[/mm]
> [mm](n\to\infty).[/mm]
>
> Das könnte ich zwar integrieren, aber ist das wirklich
> Sinn der Sache?
Kannst du es denn integrieren?
> Bei der [mm]L^{1}-Norm[/mm] komme ich ebenfalls nicht weiter:
>
> [mm]||f_{n} - f||_{1} = \int_{0}^{1}\left|\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right|\ dx[/mm]
>
> Wie kann ich vorgehen?
Für [m]\varpesilon>0[/m] konvergiert die Folge doch gleichmäßig auf [m][\varepsilon,1][/m], oder? Und auf [m][0,\varpesilon][/m] musst du anders abschätzen, aber das uneigentliche Integral von [m]\frac{1}{\sqrt{x}}[/m] ist ja (im Wesentlichen) [m]\sqrt{x}[/m], also kann man das ganze wohl mit kleinem [m][mm] \varepsilon8/m] [/mm] gut in den Griff kriegen.
SEcki
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Hallo!
Danke für deine Antwort, SEcki!
> > Der punktweise Grenzwert wäre [mm]f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}[/mm],
> > allerdings nur auf (0,1]. Für x = 0 existiert der
> > Grenzwert nicht
>
> Doch, er ist 0 - wie kommst du auf Nicht-Existenz? f ist
> also obiges auf (0,1] und 0 bei 0.
Ja - du hast recht, ich habe mich irgendwie vertan.
> > Wenn [mm](f_{n}(x))_{n\in\IN}[/mm] bzgl. der [mm]L^{2}-Norm[/mm] konvergieren
> > soll, müsste doch gelten:
> >
> > [mm]||f_{n} - f||_{2} = \left(\int_{0}^{1}\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}\ dx\right)^{1/2} \to 0[/mm]
> > [mm](n\to\infty).[/mm]
> >
> > Das könnte ich zwar integrieren, aber ist das wirklich
> > Sinn der Sache?
>
> Kannst du es denn integrieren?
Ich könnte es - machen tu' ich es nicht  Maple liefert für das unbestimmte Integral:
[mm] $\frac{1}{2}*\ln\left(x^{2}*n^{2}+1\right)-2*\ln\left(x+\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n^{2}}}\right)+\ln(x)$.
[/mm]
Das Problem: Hier kann ich gar keine Grenzen 0 und 1 einsetzen!
...
Wie bekomme ich das in den Griff?
> > Bei der [mm]L^{1}-Norm[/mm] komme ich ebenfalls nicht weiter:
> >
> > [mm]||f_{n} - f||_{1} = \int_{0}^{1}\left|\frac{\sqrt{x}}{\left(x^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right|\ dx[/mm]
>
> >
> > Wie kann ich vorgehen?
>
> Für [m]\varpesilon>0[/m] konvergiert die Folge doch gleichmäßig
> auf [m][\varepsilon,1][/m], oder? Und auf [m][0,\varpesilon][/m] musst du
> anders abschätzen, aber das uneigentliche Integral von
> [m]\frac{1}{\sqrt{x}}[/m] ist ja (im Wesentlichen) [m]\sqrt{x}[/m], also
> kann man das ganze wohl mit kleinem [m][mm]\varepsilon8/m][/mm] gut in den Griff kriegen.
Ja. Würde das also mit dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von der majorisierten Konvergenz gehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 17.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Kannst du es denn integrieren?
>
> Ich könnte es - machen tu' ich es nicht Maple liefert
> für das unbestimmte Integral:
>
> [mm]\frac{1}{2}*\ln\left(x^{2}*n^{2}+1\right)-2*\ln\left(x+\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n^{2}}}\right)+\ln(x)[/mm].
>
> Das Problem: Hier kann ich gar keine Grenzen 0 und 1
> einsetzen!
Na sowas ... [m]\int_\varpeslion^1[/m], dann Grenzübergang. Schema F. Maple gibt dir bestimmt auch gerne das uneigentliche Inetrgal in den Grenzen 0 und 1, oder? Z dem Grenzübergang - ziehe die Logarithmen zusammen, so dass [m]ln(R(x))[/m], mit R ganz rat. Funktion mit Wurzeln, da steht.
> > Für [m]\varpesilon>0[/m] konvergiert die Folge doch gleichmäßig
> > auf [m][\varepsilon,1][/m], oder? Und auf [m][0,\varpesilon][/m] musst du
> > anders abschätzen, aber das uneigentliche Integral von
> > [m]\frac{1}{\sqrt{x}}[/m] ist ja (im Wesentlichen) [m]\sqrt{x}[/m], also
> > kann man das ganze wohl mit kleinem [m][mm]\varepsilon8/m][/mm] gut in den Griff kriegen.
>
> Ja. Würde das also mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz gehen?
Wohlmöglich. Was ist denn dein Ansatz?
SEcki
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Hallo,
> > > Kannst du es denn integrieren?
> >
> > Ich könnte es - machen tu' ich es nicht Maple liefert
> > für das unbestimmte Integral:
> >
> >
> [mm]\frac{1}{2}*\ln\left(x^{2}*n^{2}+1\right)-2*\ln\left(x+\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n^{2}}}\right)+\ln(x)[/mm].
>
> >
> > Das Problem: Hier kann ich gar keine Grenzen 0 und 1
> > einsetzen!
>
> Na sowas ... [m]\int_\varpeslion^1[/m], dann Grenzübergang.
> Schema F. Maple gibt dir bestimmt auch gerne das
> uneigentliche Inetrgal in den Grenzen 0 und 1, oder? Z dem
> Grenzübergang - ziehe die Logarithmen zusammen, so dass
> [m]ln(R(x))[/m], mit R ganz rat. Funktion mit Wurzeln, da steht.
Da komme ich auf
[mm] $\ln\left((\frac{\sqrt{x^{2}*n^{2}}+1}{\left(x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n^{2}}}\right)^{2}}*x\right)$,
[/mm]
was wir bei x =1 zwar eine Zahl liefert, bei
x [mm] \to [/mm] 0 erhalte ich aber [mm] \ln(0) [/mm] (unabhängig von n!)
Was soll ich tun?
> > > Für [m]\varpesilon>0[/m] konvergiert die Folge doch gleichmäßig
> > > auf [m][\varepsilon,1][/m], oder? Und auf [m][0,\varpesilon][/m] musst du
> > > anders abschätzen, aber das uneigentliche Integral von
> > > [m]\frac{1}{\sqrt{x}}[/m] ist ja (im Wesentlichen) [m]\sqrt{x}[/m], also
> > > kann man das ganze wohl mit kleinem [m][mm]\varepsilon8/m][/mm] gut in den Griff kriegen.
> >
> > Ja. Würde das also mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz gehen?
>
> Wohlmöglich. Was ist denn dein Ansatz?
Ich würde als uneigentlich integrierbare Majorante die Funktion [mm] \frac{1}{\sqrt{x}} [/mm] (für x [mm] \in(0,1], [/mm] und 0 für x = 0) wählen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 19.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Hallo,
die [mm] L^p-Räume [/mm] sind per Definition Äquivalenzklassen von Funktionen ("Abändern auf Nullmengen").
Somit sind die Grenzwerte auch eindeutig - in deinem Beispiel wäre das die Äquivalenzklasse der Nullfunktion.
Falls du dich unbedingt im Raum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] bewegen willst, so ist auch hier die Nullfunktion der eindeutige Grenzwert, denn jeder andere Grenzwert ist nicht stetig.
LG, Alex
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Ok,
danke für deine Antwort Alex!
Grüße,
Stefan
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