Konvergenz cos < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 18.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
die Konvergenz des cos(x) folgt daraus, dass die Exponentialfunktion eine Majorante des cos(x) ist.
Doch wie kommt man von cos(x) auf exp(x).
cos(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}((-1)^n/(2n!))*x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} c_n/(2n!))*x^{2n} [/mm] mit [mm] c_n \in [/mm] {-1,0,1}, aber ich muss doch auf [mm] \summe_{0=1}^{\infty}(c_n/n!)*x^n [/mm] kommen.
Liebe Grüße
Elefanti
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo elefanti!
Du sollst (und kannst) nicht die Reihe der cos-Funktion in die Reihe der e-Funktion umformen.
Aber Du kannst hier wunderbar abschätzen, da jedes Glied der cos-Reihe kleiner ist als das der e-Reihe. Schließlich gilt ja:
[mm] $$\underbrace{\bruch{c_n}{(2n)!}}_{\cos} [/mm] \ < \ [mm] \underbrace{\bruch{c_n}{n!}}_{\exp}$$
[/mm]
Und aus der Konvergenz der e-Reihe in Zusammenhang mit dem Majorantenkriterium folgt daraus auch die Konvergenz der cos-Reihe.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
