Konvergenz dem Masse nach < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag
Wir sagen eine Funtionenfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] konvergiert dem Masse nach gegen $f$, wenn für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ gilt:
[mm] $\lim_n \mu\{x||f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon\}=0$
[/mm]
Nun habe ich ein endliches Mass [mm] $\mu$, [/mm] sowie eine Funktionenfolge (positive), die nicht gegen $f$ dem Masse nach konvergiert. D.h. es gibt ein [mm] $\epsilon [/mm] >0$, so dass
[mm] $\mu\{x| |f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon\}\ge \gamma [/mm] >0$
Nach Tschebycheff weiss ich zudem:
[mm] $\mu\{f> \frac{1}{\epsilon}\} \le \epsilon \int [/mm] f [mm] d\mu\le [/mm] c [mm] \epsilon$
[/mm]
wobei $c$ eine Konstante ist. Das Gleiche gilt für alle $n$, i.e.
[mm] $\mu\{f_n> \frac{1}{\epsilon}\} \le \epsilon \int f_n d\mu\le [/mm] c [mm] \epsilon$
[/mm]
Nun bin ich an dem Ereignis [mm] $A_n:=\{x||f_n(x)-f(x)|>\epsilon \wedge f_n(x)+f(x)\le \frac{1}{\epsilon}\}$ [/mm] interessiert. Natürlich habe ich für alle $n$:
[mm] $\mu\{f_n+f\ge \frac{1}{\epsilon}\}\le \mu\{f_n\ge\frac{1}{\epsilon}\}+\mu\{f\ge\frac{1}{\epsilon}\}\le 2\epsilon [/mm] c$
Ich würde gerne wissen, wieso ich folgende Abschätzung tätigen kann:
[mm] $\lim\sup_n\mu\{A_n\}\ge \gamma$
[/mm]
wenn man gegebenfalls [mm] $\epsilon [/mm] verkleinern muss. Wieso gilt dies?
Nehmen wir an, dass [mm] $\lim\sup_n\mu\{A_n\}\ge \gamma$ [/mm] gilt. Ich definiere [mm] $g_n:=\frac{1}{2}(f_n+f)$. [/mm] Sei $H$ eine strikt konvexe Funktion, so gilt
[mm] $H(g_n)\le \frac{1}{2}(H(f_n)+H(f))$. [/mm] Nun soll aus der strikten Konvexität und [mm] $\lim\sup_n\mu\{A_n\}\ge \gamma$ [/mm] folgen:
[mm] $\lim\sup_n \mu\{H(g_n)\le\frac{1}{2}(H(f_n)+H(f))-\eta\}\ge \eta>0$ [/mm] für [mm] $\eta>0$. [/mm] Wieso kann ich dies aus diesen beiden Annahmen folgern?
Ich möchte mich bereits jetzt für eure Hilfe bedanken :) Danke!
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 26.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo marianne88,
nur ein kleiner Anfang (daher lasse ich den Status deiner Frage auf nur teilweise beantwortet):
> Wir sagen eine Funtionenfolge [mm](f_n)[/mm] konvergiert dem Masse
> nach gegen [mm]f[/mm], wenn für alle [mm]\epsilon >0[/mm] gilt:
>
> [mm]\lim_n \mu\{x||f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon\}=0[/mm]
>
> Nun habe ich ein endliches Mass [mm]\mu[/mm], sowie eine
> Funktionenfolge (positive), die nicht gegen [mm]f[/mm] dem Masse
> nach konvergiert. D.h. es gibt ein [mm]\epsilon >0[/mm], so dass
>
> [mm]\mu\{x| |f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon\}\ge \gamma >0[/mm]
für unendlich viele [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
> Nach Tschebycheff weiss ich zudem:
>
> [mm]\mu\{f> \frac{1}{\epsilon}\} \le \epsilon \int f d\mu\le c \epsilon[/mm]
>
> wobei [mm]c[/mm] eine Konstante ist.
Z.B. [mm] $c:=\int [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] leistet das Gewünschte.
> Das Gleiche gilt für alle [mm]n[/mm],
> i.e.
>
> [mm]\mu\{f_n> \frac{1}{\epsilon}\} \le \epsilon \int f_n d\mu\le c \epsilon[/mm]
Für gewisse Zahlen [mm] $c_n$ [/mm] anstelle von $c$. Warum sollte [mm] $\{\int f_n d\mu\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] nach oben beschränkt sein?
> Nun bin ich an dem Ereignis [mm]A_n:=\{x||f_n(x)-f(x)|>\epsilon \wedge f_n(x)+f(x)\le \frac{1}{\epsilon}\}[/mm]
> interessiert. Natürlich habe ich für alle [mm]n[/mm]:
>
> [mm][mm] \mu\{f_n+f\ge \frac{1}{\epsilon}\}\le \mu\{f_n\ge\frac{1}{\epsilon}\}+\mu\{f\ge\frac{1}{\epsilon}\}[/mm] [mm]
Warum das?
> [mm]\le 2\epsilon c[/mm]
Wie gesagt: So eine gemeinsame Konstante c muss es nicht geben.
> Ich würde gerne wissen, wieso ich folgende Abschätzung
> tätigen kann:
>
> [mm]\lim\sup_n\mu\{A_n\}\ge \gamma[/mm]
>
> wenn man gegebenfalls [mm]$\epsilon[/mm] verkleinern muss. Wieso
> gilt dies?
Mir ist nicht ganz klar, was mit "wenn man gegebenenfalls [mm] $\epsilon$ [/mm] verkleinern muss" gemeint ist (schließlich hing ja z.B. [mm] $\gamma$ [/mm] von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ab).
Viele Grüße
Tobias
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Guten Tag Tobias
Dass auch [mm] $\mu\{f_n\ge \frac{1}{\epsilon}\}$ \le c\epsilon$ [/mm] gilt, ist eine Annahme! Das kannst du als wahr annehmen.
bezgl. [mm] $\epsilon [/mm] $ gegebenenfalls verkleinern.
Wir wissen [mm] $\mu\{f_n\ge\frac{1}{\epsilon}\}\le c\epsilon$, $\mu\{f\ge\frac{1}{\epsilon}\}\le c\epsilon$ [/mm] und [mm] $\lim\sup_n\mu\{|f_n-f|\ge\epsilon\}\ge \gamma>0$. [/mm] Im Skript steht dann:
By shrinking [mm] $\epsilon$ [/mm] if necessary, we may assume
[mm] $\lim\sup\mu\{A_n\}\ge \gamma$
[/mm]
Danke für deine Hilfe und Geduld
Liebe Grüsse
marianne88
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Fr 26.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Dass auch [mm]$\mu\{f_n\ge \frac{1}{\epsilon}\}$ \le c\epsilon$[/mm]
> gilt, ist eine Annahme! Das kannst du als wahr annehmen.
OK, nehmen wir also nun an, dass ein [mm] $c\in\IR$ [/mm] existiert mit
[mm] $\mu(\{f_n\ge\frac1\varepsilon\})\le c\varepsilon$
[/mm]
für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] (und selbige Aussage mit f anstelle von [mm] $f_n$).
[/mm]
Indem wir $c$ bei Bedarf erhöhen, können wir $c>0$ annehmen.
> bezgl. [mm]\epsilon[/mm] gegebenenfalls verkleinern.
>
> Wir wissen [mm]\mu\{f_n\ge\frac{1}{\epsilon}\}\le c\epsilon[/mm],
> [mm]\mu\{f\ge\frac{1}{\epsilon}\}\le c\epsilon[/mm] und
> [mm]\lim\sup_n\mu\{|f_n-f|\ge\epsilon\}\ge \gamma>0[/mm]. Im Skript
> steht dann:
>
> By shrinking [mm]\epsilon[/mm] if necessary, we may assume
>
> [mm]\lim\sup\mu\{A_n\}\ge \gamma[/mm]
Wenn es erlaubt ist, neben [mm] $\varepsilon$ [/mm] auch [mm] $\gamma$ [/mm] zu verkleinern, lässt sich wie folgt argumentieren:
(Ich wundere mich in diesem Fall aber, dass nicht einfach [mm] $\lim\sup\mu(A_n)>0$ [/mm] gesagt wird.)
Sei [mm] $\gamma':=\frac\gamma2$ [/mm] und [mm] $\varepsilon':=\min(\frac\gamma{8c},\frac\varepsilon2)$.
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $\{f_n+f>\frac1\varepsilon'\}\subseteq\{f_n>\frac1{2\varepsilon'}\}\cup\{f>\frac1{2\varepsilon'}\}$
[/mm]
und damit
[mm] $\mu(\{f_n+f>\frac1\varepsilon'\})\le\mu(\{f_n>\frac1{2\varepsilon'}\})+\mu(\{f>\frac1{2\varepsilon'}\})\le c(2\varepsilon')+c(2\varepsilon')=4c\varepsilon'$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\{|f_n-f|\ge\varepsilon\}\subseteq A_n^{\varepsilon'}\cup\{f_n+f>\frac1{\varepsilon'}\}$
[/mm]
gilt
[mm] $\mu(\{|f_n-f|\ge\varepsilon\})\le\mu(A_n^{\varepsilon'})+\mu(\{f_n+f>\frac1{\varepsilon'}\})$.
[/mm]
Also
[mm] $\mu(A_n^{\varepsilon'})\ge\mu(\{|f_n-f|\ge\varepsilon\})-\underbrace{\mu(\{f_n+f>\frac1{\varepsilon'}\})}_{\substack{\le 4c\varepsilon'\\\le4c\frac{\gamma}{8c}\\=\frac\gamma2}}\ge\mu(\{|f_n-f|\ge\varepsilon\})-\frac\gamma2$
[/mm]
und somit
[mm] $\lim\sup\mu(A_n^{\varepsilon'})\ge\lim\sup(\mu(\{|f_n-f|\ge\varepsilon\})-\frac\gamma2)=\underbrace{(\lim\sup\mu(\{|f_n-f|\ge\varepsilon\}))}_{\ge\gamma}-\frac\gamma2\ge\frac\gamma2=\gamma'$.
[/mm]
Ersetzen wir also [mm] $\varepsilon$ [/mm] durch [mm] $\varepsilon'$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] durch [mm] $\gamma'$, [/mm] so gilt die gewünschte Ungleichung (und die vorherigen Ungleichungen bleiben bestehen).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 26.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Nun bin ich an dem Ereignis [mm]A_n:=\{x||f_n(x)-f(x)|>\epsilon \wedge f_n(x)+f(x)\le \frac{1}{\epsilon}\}[/mm]
> interessiert. Natürlich habe ich für alle [mm]n[/mm]:
>
> [mm]\mu\{f_n+f\ge \frac{1}{\epsilon}\}\le \mu\{f_n\ge\frac{1}{\epsilon}\}+\mu\{f\ge\frac{1}{\epsilon}\}\le 2\epsilon c[/mm]
>
> Ich würde gerne wissen, wieso ich folgende Abschätzung
> tätigen kann:
>
> [mm]\lim\sup_n\mu\{A_n\}\ge \gamma[/mm]
>
> wenn man gegebenfalls [mm]$\epsilon[/mm] verkleinern muss. Wieso
> gilt dies?
Die Aussage ist in dieser Allgemeinheit schlicht falsch.
Ich schreibe mal [mm] $A_n^\varepsilon$ [/mm] für deine Mengen [mm] $A_n$, [/mm] um die Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] deutlich zu machen.
Betrachte etwa ein beliebiges Maß [mm] $\mu\not=0$ [/mm] auf einer Menge [mm] $\Omega$, [/mm] konstante Abbildungen $f=1$ und [mm] $f_n=n$ [/mm] und [mm] $\varepsilon:=1$.
[/mm]
Dann gilt [mm] $\mu(\{|f_n-f|\ge\varepsilon\})=\mu(\Omega)>0$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$.
Aber [mm] $A_n^{\varepsilon'}=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $n\ge\frac1{\varepsilon'}$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon'>0$ [/mm] und somit
[mm] $\lim\sup_{n\to\infty}\mu(A_n^{\varepsilon'})=0$
[/mm]
für alle [mm] $\varepsilon'>0$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Tag
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> Wir sagen eine Funtionenfolge [mm](f_n)[/mm] konvergiert dem Masse
> nach
so rein rechtschreibemäßig würde ich sagen, dass das "dem Maße nach"
geschrieben werden muß. Grund: Langgezogener Vokal.
Außerdem ist "Masse" etwas anderes, was man etwa aus der Physik kennt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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