Konvergenz der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Sa 19.03.2005 | | Autor: | WiFo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, habe folgende Aufgabe zu lösen:
Untersuche die Folge [mm] (n(e^{ \bruch{1}{n}}-1)) [/mm] auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.
Also, ich habe folgendes gemacht:
1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n(e^{ \bruch{1}{n}}-1)) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n)*(\limes_{n\rightarrow\infty}(e^{ \bruch{1}{n}})-
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1))= \infty*(1-1)=0
[/mm]
=> Konvergiert, Grenzwert = 0
Ist das eine richtige Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 19.03.2005 | | Autor: | WiFo |
Habe gerade erfahren, dass das nicht geht, würde aber gerne wissen, warum?
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Hallo,
ich will es mal formal etwas ungenau, aber dafür anschaulich beschreiben:
Es geht in solchen Produkten (oder Quotienten) darum, wie schnell etwas gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder $0$ strebt.
Mit Deiner Methode wäre z.B $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{n \bruch{1}{n}}=\left( \limes_{n\rightarrow\infty}n\right)\left( \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\right)=\infty [/mm] * 0=0$.
Ähnlich verhält es sich bei Deiner Aufgabe.
Ich hoffe, als Anschauungshilfe reicht das erst mal - sonst frag nach!
Schönes Wochenende,
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 So 20.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo WiFo!
Du wendest bei Deinen Ansätzen ja folgende Grenzwertsätze an:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\left(a_n * b_n\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} a_n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} b_n$
[/mm]
bzw.
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\left(a_n \pm b_n\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} a_n \pm \limes_{n\rightarrow \infty} b_n$
[/mm]
Diese Sätze gelten jedoch nur unter der Voraussetzung, daß [mm] $$ [/mm] und [mm] $$ [/mm] konvergieren, d.h. es existieren feste Zahlen $a$ und $b$ mit [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} a_n [/mm] \ = \ a$ bzw. [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} b_n [/mm] \ = \ b$.
Und dazu gehören nunmal die "Grenzwerte" [mm] $\pm [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] nicht dazu.
Du erhältst bei Deinem Ansatz irgendwann den Ausdruck "$0 * [mm] \infty$".
[/mm]
Hierfür gibt es viele Beispiele, an denen man zeigen kann, daß dies ein unbestimmter Ausdruck ist, sprich: dieser Ausdruck kann so ziemlich jeden Wert annehmen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
Als kleiner Tipp: Hier lässt sich gut de l'Hospital anwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Sa 19.03.2005 | | Autor: | felixs |
> Als kleiner Tipp: Hier lässt sich gut de l'Hospital
> anwenden.
>
da der ausdruck sowieso aequivalent zur ableitung von exp in 0 ist, halte ich es fuer aeusserst sinnfrei hier solche geschuetze aufzufahren... moeglicherweise koennte das sogar in die hosen gehen, da die ableitung von e an besagter stelle nicht 'bekannt' ist.
just my .02E
--felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
> da der ausdruck sowieso aequivalent zur ableitung von exp
> in 0 ist, halte ich es fuer aeusserst sinnfrei hier solche
> geschuetze aufzufahren...
Also das ist ziemlich unkonkret. Ehrlich gesagt ist mir nicht klar wovon du eigentlich redet. Außerdem, sind die "Geschütze" die du auffährst meiner Meinung nach auch nicht weniger kompliziert.
> moeglicherweise koennte das sogar
> in die hosen gehen, da die ableitung von e an besagter
> stelle nicht 'bekannt' ist.
An welcher besagten Stelle? Ich betrachte doch garkeine spezielle Stelle?? Und die Ableitung dieser e-Funktion ist sehr wohl bekannt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 20.03.2005 | | Autor: | felixs |
guten morgen.
> Also das ist ziemlich unkonkret.
tut mir leid, ich habe mich wahrscheinlich etwas zu kurz gefasst.
mit definition der ableitung meinte ich so etwas wie:
[mm] $\lim_{n \to \infty} n(e^{1/n}-1)= \limes_{h \to 0} \frac{e^h-e^0}{h}$
[/mm]
wenn du jetzt also die folge als funktion darstellst (das geht hier unproblemarisch - keine frage) und deren grenzwert wiederum (per lhospital) auf die ableitung von e in 0 zurueckfuehrst, dann bist du (genau) da wo du vorher warst. das war mein erster einfall zu lhospital.
> Außerdem, sind die "Geschütze" die du auffährst meiner Meinung nach
> auch nicht weniger kompliziert.
:) ich habe die definition der $e$ funktion benutzt und auf wahrscheinlich ueberfluessig umstaendliche weise eine reihe umsortiert.
> Und die Ableitung dieser e-Funktion ist sehr wohl bekannt.
ja, genau. weil man sie eben ganz einfach ausrechnen kann.
und so hatte ich die aufgabe verstanden.
gruss
--felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 19.03.2005 | | Autor: | felixs |
morgen
> Untersuche die Folge [mm](n(e^{ \bruch{1}{n}}-1))[/mm] auf
> Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.
>
> Also, ich habe folgendes gemacht:
>
> 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n(e^{ \bruch{1}{n}}-1))[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n)*(\limes_{n\rightarrow\infty}(e^{ \bruch{1}{n}})-
[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1))= \infty*(1-1)=0
[/mm]
>
> => Konvergiert, Grenzwert = 0
>
> Ist das eine richtige Lösung?
so etwas funktioniert natuerlich nicht. da sich das inzwischen geklaert hat geh ich mal nicht darauf ein :)
ich haette allerdings ne loesung parat:
beachte dass [mm] $e^x=\sum \frac{x^k}{k!}$
[/mm]
dann gibt das:
[mm] $\lim_n (n(e^{1/n}-1)) [/mm] = [mm] \lim_n (n(\sum_0^{\infty} \frac{n^{-k}}{k!} [/mm] -1))$
der erste summand und die $1$ heben sich auf:
$ = [mm] \lim_n (n\sum_1^\infty \frac{n^{-k}}{k!})$
[/mm]
und dann noch das $n$ rein:
$ = [mm] \lim_n (\sum_1^\infty \frac{n^{-k+1}}{k!})$
[/mm]
$ = [mm] \lim_n (\sum_0^\infty \frac{n^{-k}}{(k+1)!})$
[/mm]
ersten summanden rausziehen:
$ = [mm] \lim_n [/mm] (1+ [mm] \sum_1^\infty \frac{n^{-k}}{(k+1)!})$
[/mm]
und das gibt dann:
$ = [mm] \lim_n [/mm] (1+ [mm] \frac{1}{n}\sum_0^\infty \frac{n^{-k}}{(k+2)!})$
[/mm]
die summe laesst sich durch [mm] $e^{1/n}$ [/mm] abschaetzen. also geht alles zusammen gegen 1.
eine alternative waere $n$ durch $1/h$ zu substituieren und $h [mm] \to [/mm] 0$ anzuschauen. das waere dann die ableitung der $e$ funktion an der stelle 0. allerdings ist das vielleicht ein ringschluss.
gruss und so
--felix
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Man kann nämlich auch den limes gegen unendlich stehen lassen und den Term umschreiben als:
