Konvergenz durch Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Do 12.11.2009 | | Autor: | darkrain |
| Aufgabe | Weisen Sie Konvergenz nach und berechnen Sie den Grenzwert für:
[mm] a_1=\wurzel[]{2} [/mm] ; [mm] a_n=\wurzel[]{2 + a_{n-1}} [/mm]
(die -1 steht auf der gleichen ebene wie das n bei [mm] a_n)
[/mm]
Weisen Sie zunächst (durch Induktion) nach, dass [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] streng monoton
wächst (quadrieren Sie die Rekursion!); weisen Sie dann (wieder durch Induktion) nach, dass die Folge nach oben beschränkt ist (wodurch?).
Bestimmen Sie schließlich den Grenzwert a, indem Sie eine geeignete Gleichung für a aufstellen. |
hallo,
also bei dieser aufgabe wei ich nicht, wie ich überhaupt eine induktion anfangen soll.dann noch rekursiv. kann jemand mir helfen, diese aufgabe schritt für schritt zu lösen?
lieben gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 12.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo darkrain!
Siehe mal hier. Da wurde diese Folge ausgiebig diskutiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 12.11.2009 | | Autor: | darkrain |
danke, aber das ist ja übelst unübersichtlich :-/
ich habe versucht, daraus etwas zu verstehen:
also Induktionsvorraussetzung ist: [mm] a_n [/mm] < [mm] a_n+1, [/mm] zu zeigen:
[mm] a_n+1 [/mm] < [mm] a_n+2 \gdw \wurzel{ 2 + a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{ 2 + a_n+ 1} \gdw [/mm] 2 + [mm] a_n [/mm] < 2 + [mm] a_N+ [/mm] 1 [mm] \gdw a_n [/mm] < [mm] a_n+1
[/mm]
wenn das so richtig ist.... habe ich dann nun den ersten teil der aufgabe erfüllt ? dann muss ich den grenzwert berechnen... den habe ich gar nicht verstanden, es haben einfach zu viele leute diskutiert in dem link.
wie berechne ich nun den grenzwert ?
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Hallo darkrain,
> danke, aber das ist ja übelst unübersichtlich :-/
>
> ich habe versucht, daraus etwas zu verstehen:
>
> also Induktionsvorraussetzung ist: [mm]a_n[/mm] < [mm]a_n+1,[/mm] zu zeigen:
> [mm]a_n+1[/mm] < [mm]a_n+2 \gdw \wurzel{ 2 + a_n}[/mm] < [mm]\wurzel{ 2 + a_n+ 1} \gdw[/mm]
> 2 + [mm]a_n[/mm] < 2 + [mm]a_N+[/mm] 1 [mm]\gdw a_n[/mm] < [mm]a_n+1[/mm]
Vllt. kannst du mal sagen, was du da per Induktion zeigen willst. Es sieht irgendwie nach Monotonie aus?! Außerdem ist das furchtbar zu lesen.
Setze Indizes (und Exponenten), die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {}, also a_{n-1} ergibt das schön leserliche [mm] $a_{n-1}$
[/mm]
>
> wenn das so richtig ist.... habe ich dann nun den ersten
> teil der aufgabe erfüllt ? dann muss ich den grenzwert
> berechnen... den habe ich gar nicht verstanden, es haben
> einfach zu viele leute diskutiert in dem link.
Zeige für deine Folge zweierlei:
1) [mm] $a_n<2$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Das geht mit ner einfachen Induktion.
IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig, aber fest und gelte [mm] $a_{n-1}<2$
[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass gefälligst auch [mm] $a_n<2$ [/mm] ist:
[mm] $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}\underbrace{<}_{\text{nach IV und Monotonie der Wurzelfkt.}}\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$
[/mm]
Fertig
2) [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist streng monoton steigend, zeige also [mm] $\frac{a_n}{a_{n-1}}>1$ [/mm] für bel. [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Hilfreich kann sein, dass alle [mm] $a_n>0$ [/mm] sind und dass 1) gilt!
Damit hast du nachgewiesen, dass das Biest konvergent ist (streng monot. wachsend und nach oben beschränkt)
>
> wie berechne ich nun den grenzwert ?
Denn bekommst du aus der rekursiven Darstellung und der Tatsache, dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}=:a$ [/mm] ist.
Einfach ausrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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