Konvergenz einer Folge+ < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 25.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_n [/mm] eine reeller Zahlen Folge die gegen a konvegiert. Zeigen sie, dass [mm] b_n:=\frac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n) [/mm] ebenfalls gegen a konvegiert. Gilt die Umkehrung der Aussage auch? Wenn [mm] b_n [/mm] gegen a konvegiert, kovegiert auch [mm] a_n [/mm] gegen a? |
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, nämlich ich komme, dass es gegen Null konvegieren soll. nämlich es gibt ein Satz der sagt [mm] a_n\rightarrow [/mm] a und [mm] b_n\rightarrow [/mm] b [mm] \implies a_n b_n \rightarrow [/mm] ab Und b kann man aufschreiben als Summe zwei Folgen:
[mm] c_n=\frac{1}{n} [/mm] //konvegiert gegen 0
[mm] d_n=der [/mm] Rest. //konvegiert gegen [mm] a\in\IR
[/mm]
a*0=0 So soll b gegen Null konvegieren. Kann mir jemand sagen was falsch in diesem Schlussfolgerung ist und einen richtigen Ansatz geben? (ich hab's versucht die Definitionen der Konvergenz aufzuschreiben, hat aber mir nicht's gebracht: [mm] \forall\epsilon [/mm] : [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n : [mm] n\ge n_0 [/mm] : [mm] |a_n|<\epsilon)
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]a_n[/mm] eine reeller Zahlen Folge die gegen a konvegiert.
> Zeigen sie, dass [mm]b_n:=\frac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n)[/mm]
> ebenfalls gegen a konvegiert. Gilt die Umkehrung der
> Aussage auch? Wenn [mm]b_n[/mm] gegen a konvegiert, kovegiert auch
> [mm]a_n[/mm] gegen a?
> Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, nämlich ich
> komme, dass es gegen Null konvegieren soll. nämlich es
> gibt ein Satz der sagt [mm]a_n\rightarrow[/mm] a und [mm]b_n\rightarrow[/mm]
> b [mm]\implies a_n b_n \rightarrow[/mm] ab Und b kann man
> aufschreiben als Summe zwei Folgen:
> [mm]c_n=\frac{1}{n}[/mm] //konvegiert gegen 0
> [mm]d_n=der[/mm] Rest. //konvegiert gegen [mm]a\in\IR[/mm]
> a*0=0 So soll b gegen Null konvegieren. Kann mir jemand
> sagen was falsch in diesem Schlussfolgerung ist und einen
> richtigen Ansatz geben? (ich hab's versucht die
> Definitionen der Konvergenz aufzuschreiben, hat aber mir
> nicht's gebracht: [mm]\forall\epsilon[/mm] : [mm]\exists n_0 \forall[/mm] n :
> [mm]n\ge n_0[/mm] : [mm]|a_n|<\epsilon)[/mm]
nun ja: Wenn jedes [mm] $b_n\,$ [/mm] eine Summe von [mm] $k\,$ [/mm] Summanden wäre,
wobei [mm] $k\,$ [/mm] von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig bzw. FEST wäre, dann könntest Du so
folgern, wie Du es wolltest (mit dem Zusatz, dass natürlich jeder der [mm] $k\,$ [/mm]
Summanden quasi eine konvergente Folge in [mm] $n\,$ [/mm] "vertrete").
Aber [mm] $b_n\,$ [/mm] hat für [mm] $n=1\,$ [/mm] EINEN Summanden, für [mm] $n=10\,$ [/mm] aber
ZEHN Summanden, für $n=1000$ halt TAUSEND Summanden...
Also vielleicht mal genauer: Ist [mm] $\tilde{b}_n=\sum_{\ell=1}^\red{k} \tilde{a}_\ell(n)$ [/mm] mit
$k [mm] \in \IN$ [/mm] fest, dann folgt, falls [mm] $\tilde{a}_\ell(n) \to \tilde{a}_\ell$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$) [/mm] für [mm] $\ell=1,...,k$ [/mm] gilt, dass
[mm] $$\tilde{b}_n \to \sum_{\ell=1}^\red{k}\tilde{a}_\ell\;\;\;(n \to\infty)\,.$$
[/mm]
Das funktioniert bei Dir hier halt nicht, weil hier [mm] $k\,$ [/mm] eben NICHT von [mm] $n\,$
[/mm]
unabhängig ist.
Nun zum Beweis bei Deiner Aufgabe:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $N=N(\epsilon)$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Begründe nun
[mm] $$b_n-a=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k-a)$$
[/mm]
und folgere damit, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$|b_n-a| \le \frac{1}{n}\underbrace{\sum_{k=1}^N |a_k-a|}_{=:S_1}+\frac{1}{n}\underbrace{\sum_{k=N+1}^n |a_k-a|}_{=:S_2=S_2(n)}$$
[/mm]
Zeige: [mm] $|b_n-a| \le 2*\epsilon$ [/mm] für alle genügend großen [mm] $n\,.$ [/mm]
(Tipp: Beachte, dass [mm] $S_1$ [/mm] nicht von [mm] $n\,$ [/mm] abhängt - und benutze [mm] $|a_k-a| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
für alle $k [mm] \ge N\,,$ [/mm] um [mm] $S_2$ [/mm] abzuschätzen.)
Und zur Frage bzgl. der Umkehrung: Betrachte mal [mm] $a_n:=(-1)^n\,.$
[/mm]
Zeige: Dann gilt [mm] $b_n \to 0\,,$ [/mm] aber [mm] $(a_n)_n=((-1)^n)_n$ [/mm] divergiert!
P.S.
Das, was Du oben geschrieben hast ("... die Definition der Konvergenz
aufzuschreiben..."):
"Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt: Es gibt ein [mm] $n_0=n_0(\epsilon)$ [/mm] so, das für
alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] folgt: [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$"
[/mm]
passt nur, falls die Folge eine GEGEN NULL konvergente Folge ist.
Richtig ist:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge. Genau dann ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent, wenn
gilt:
Es gibt ein [mm] $a\,$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0=n_0(\epsilon)$
[/mm]
so existiert, dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$ [/mm]
(Beachte auch die Reihenfolge: "Es gibt ein [mm] $a\,$ [/mm] so, dass für jedes
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$..." und NICHT "Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $a\,$ [/mm]
so...."
Wobei man hier im Forum auch mal die letztere Formulierung behandelt hat
und gezeigt hat, dass sie in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] eine äquivalente Definition
wäre. Aber sie wäre 'umständlich(er)'...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
