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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Folge
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Konvergenz einer Folge: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:51 Di 01.03.2005
Autor: BJJ

Hallo,

ich habe folgende Frage: Angenommen wir haben eine Folge [mm] (S_{n}) [/mm] wobei die Folgenglieder [mm] S_{n} [/mm]  von der folgenden Gestalt sind

[mm] S_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm]

mit [mm] a_{i} \geq [/mm] 0 fuer alle i. Folgt aus Konvergenz von [mm] (S_{n}), [/mm] dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] gegen 0 konvergiert? Wie koennte man das zeigen, wenn das stimmt?

Vielen Dank und viele Gruesse

bjj






        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Di 01.03.2005
Autor: Max

Hallo bjj,

wegen

[mm] $S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n}=\sum_{i=1}^n b_i$ [/mm]

weiß man, dass [mm] $b_i [/mm] := [mm] \frac{a_i}{n}$ [/mm] eine Nullfolge sein muss. Es gibt aber auch Möglichkeiten [mm] $a_i$ [/mm] so zu wählen, dass [mm] $a_i$ [/mm] keine Nullfolge ist (z.B. eine konstante Folge wie [mm] $a_i=1$) [/mm] oder dass [mm] $a_i$ [/mm] überhaupt nicht konvergiert (z.B. [mm] $a_i=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } i \mbox{ ungerade} \end{cases}$). [/mm]

Gruß Brackhaus

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Konvergenz einer Folge: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Di 01.03.2005
Autor: BJJ

Hallo Brackhaus,

erst einmal herzlichen Dank fuer die Antwort.

Die Voraussetzung war ja, dass die Folge [mm] (S_{n}) [/mm] konvergent ist. Setze ich [mm] a_{i} [/mm] = 1 fuer alle i, dann haben wir die harmonische Reihe, die bekanntermassen divergiert. Aehnliches muesste auch fuer  [mm] (S_{n}) [/mm] gelten, wenn wir die zweite Alternative fuer [mm] a_{i} [/mm] waehlen, naemlich

[mm]a_i=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } i \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]).

Oder liege ich da falsch? Gibt es also eine Folge [mm] (a_{i}), [/mm] die nicht gegen 0 konvergiert, so dass aber trotzdem

[mm] \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n} a_{i} [/mm]

konvergent ist?

Gruss

bjj



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Bezug
Konvergenz einer Folge: Bemerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:07 Di 01.03.2005
Autor: BJJ

Die Folge [mm] (a_{i}) [/mm] darf natürlich nur aus nicht-negativen Folgegliedern bestehen.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Di 01.03.2005
Autor: Loddar

Hallo BJJ!


Es handelt sich für [mm] $a_i [/mm] = 1$ nicht um die harmonische Reihe (wobei ich auch erst diesem Trugschluß erlegen bin ;-) ).


Unsere Reihe lautet ja für [mm] $a_i [/mm] = 1$ :

[mm] $S_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{n \ Summanden} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * n \ = \ 1$ also konvergent!

Brackhaus hat also mit seiner Behauptung recht
(Konvergente Reihe [mm] $S_n$ [/mm] mit [mm] $a_i$ [/mm] als Nicht-Nullfolge) !!


Kann es sein, daß du mit Deinen Laufvariabelen etwas durcheinander geraten bist ($i$ und $n$)?
Bitte schau doch nochmal nach und melde Dich!


Gruß
Loddar


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Konvergenz einer Folge: Rückmeldung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Di 01.03.2005
Autor: BJJ

Hallo Loddar und Brackhaus,

Ihr habt natürlich recht!

Danke und viele Grüße

bjj

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Bezug
Konvergenz einer Folge: Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:56 Di 01.03.2005
Autor: Max

Glück gehabt!

Ich hatte schon gedacht, dass ich heute morgen wieder mal wirr im Kopf war [breakdance]

Ergänzung:

Es reicht wenn [mm] $a_i$ [/mm] eine beschränkte Folge ist, also [mm] $|a_i|
[mm] $|b_i|=\left|\frac{a_i}{n}\right|=\frac{|a_i|}{n}\le \frac{K}{n}$ [/mm]

Damit hat [mm] $b_i$ [/mm] eine Nullfolge als Majorante.

Gruß Brackhaus

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