Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] a_n [/mm] eine in [mm] \IR [/mm] konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit a:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] >0. Zeige, dass dann auch die Folge [mm] \wurzel{a_n} [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert und zwar gegen [mm] \wurzel{a}. [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir da helfen?
Ich weiß, dass ich einen Epsilon Beweis durchführen muss.
[mm] \wurzel{a_n} [/mm] muss ja auch größer Null sein, denn es gibt keine negative Zahl unter der Wurzel weil ja natürliche Zahlen betrachtet werden.Au0erdem muss [mm] a_n [/mm] größer als [mm] \wurzel{a_n} [/mm] sein, denn die Wurzel ist ja immer eine kleiner Zahl. Das ist jetzt etwas unschön ausgedrückt, aber ich hoffe es stimmt.
Es gilt dann [mm] 0<\wurzel{a_n}
Vielen Dank.
LG Lakritzstange
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Sa 23.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sei [mm]a_n[/mm] eine in [mm]\IR[/mm] konvergente Folge positiver reeller
> Zahlen mit a:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] >0. Zeige,
> dass dann auch die Folge [mm]\wurzel{a_n}[/mm] in [mm]\IR[/mm] konvergiert
> und zwar gegen [mm]\wurzel{a}.[/mm]
> Hallo,
>
> könnt ihr mir da helfen?
> Ich weiß, dass ich einen Epsilon Beweis durchführen
> muss.
> [mm]\wurzel{a_n}[/mm] muss ja auch größer Null sein, denn es gibt
> keine negative Zahl unter der Wurzel weil ja natürliche
> Zahlen betrachtet werden.
Nein, es gilt [mm] a_{n}\in\IR^{+}
[/mm]
> Au0erdem muss [mm]a_n[/mm] größer als [mm]\wurzel{a_n}[/mm] sein, denn die Wurzel ist ja
> immer eine kleiner Zahl. Das ist jetzt etwas unschön ausgedrückt,
> aber ich hoffe es stimmt.
Nein [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}}=\bruch{1}{2}. [/mm]
> Es gilt dann [mm]0<\wurzel{a_n}
Nein, siehe mein Beipiel.
>
> Vielen Dank.
> LG Lakritzstange
>
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Sa 23.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_n[/mm] eine in [mm]\IR[/mm] konvergente Folge positiver reeller
> Zahlen mit a:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] >0. Zeige,
> dass dann auch die Folge [mm]\wurzel{a_n}[/mm] in [mm]\IR[/mm] konvergiert
> und zwar gegen [mm]\wurzel{a}.[/mm]
> Hallo,
>
> könnt ihr mir da helfen?
> Ich weiß, dass ich einen Epsilon Beweis durchführen
> muss.
> [mm]\wurzel{a_n}[/mm] muss ja auch größer Null sein, denn es gibt
> keine negative Zahl unter der Wurzel weil ja natürliche
> Zahlen betrachtet werden.Au0erdem muss [mm]a_n[/mm] größer als
> [mm]\wurzel{a_n}[/mm] sein, denn die Wurzel ist ja immer eine
> kleiner Zahl. Das ist jetzt etwas unschön ausgedrückt,
> aber ich hoffe es stimmt.
> Es gilt dann [mm]0<\wurzel{a_n}
>
> Vielen Dank.
> LG Lakritzstange
>
TiPP:
[mm] (\wurzel{a_n}-\wurzel{a})*(\wurzel{a_n}+\wurzel{a})= a_n-a
[/mm]
Es folgt:
[mm] $|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|= \bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}} \le \bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a}}$
[/mm]
FRED
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Danke für eure schnelle Hilfe.
Ok dank des Tipps weiß ich ja jetzt dass der Zähler immer >0 ist nach Voraussetzung.
Aber wie mach ich da jetzt weiter. Ich kann ja kein Sandwich Kriterium oder so anwenden, weil ja nicht weiß gegen was [mm] \bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}} \le \bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a}} [/mm] die rechte Seite davon konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
denk an die Vors. was kannst du für [mm] |a_n-a| [/mm] sagen für [mm] n>N_0
[/mm]
Gruss leduart
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ich kann sagen dass das [mm] <\varepsilon [/mm] ist aber auch >0 oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, oder auch dass es ein [mm] N_0 [/mm] gibt, mit [mm] |a_n-a|<\epsilon*\wurzel{a} [/mm] für [mm] a\ne0 [/mm]
und dann mach mal den Beweis fertig. du hast aus den augen verloren, was du beweisen willst. schreib das als erstes genau hin! (mit epsilon und N)
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für eure schnelle Hilfe.
>
> Ok dank des Tipps weiß ich ja jetzt dass der Zähler immer
> >0 ist nach Voraussetzung.
> Aber wie mach ich da jetzt weiter. Ich kann ja kein
> Sandwich Kriterium oder so anwenden,
Natürlich kannst Du das!
Wir haben::
$ 0 [mm] \le |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|\le \bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a}} [/mm] =: [mm] c_n$
[/mm]
Was treibt [mm] (c_n) [/mm] ?
FRED
> weil ja nicht weiß
> gegen was [mm]\bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}} \le \bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a}}[/mm]
> die rechte Seite davon konvergiert.
>
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Hallo,
[mm] c_n [/mm] strebt gegen [mm] \wurzel{a} [/mm] für n gegen unendlich oder?
Aber O Ist ja eine "Nullfolge"
Deshalb habe ich ja keine identischen Grenzwerte. Deshalb dachte ich, dass ich es auch nicht anwenden darf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> [mm]c_n[/mm] strebt gegen [mm]\wurzel{a}[/mm] für n gegen unendlich oder?
Das ist nicht Dein Ernst ??
[mm] (a_n) [/mm] konvergiert konvergiert gegen a. Also ist [mm] (c_n) [/mm] eine N ..?? folge.
> Aber O Ist ja eine "Nullfolge"
Die Folge, die konstant = 0 ist, ist eine ganz wunderbare Nullfolge
FRED
> Deshalb habe ich ja keine identischen Grenzwerte. Deshalb
> dachte ich, dass ich es auch nicht anwenden darf
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