Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 27.04.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] \vec{a}_k=(e^{\bruch{1}{2}ik\pi},\bruch{k^{-k}-1}{arctan(k)-\bruch{\pi}{2}})
[/mm]
Es geht darum auf konvergenz zu untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert zu bestimmen.
Zur ersten Komponente:
Wäre es richtig, wenn ich statt [mm] e^{\bruch{1}{2}ik\pi} [/mm] einfach [mm] cos(\bruch{1}{2}k\pi)+isin(\bruch{1}{2}k\pi) [/mm] schreibe? Aber wie kann ich das weiter ausformulieren? Mich verwirrt leider ein wenig, dass es sich um eine Komplexe Zahl handelt.
Zur zweiten Komponente:
Es gilt für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}arctan(k)-\bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
Es gilt für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}k^{-k}-1=-1
[/mm]
Somit wäre die zweite Komponente nicht konvergent und somit wäre die Folge ebenfalls nicht konvergent und der Beweis wäre ja eigentlich ohnehin abgeschlossen oder???
Trotzdem wurmt mich das irgendwie mit der Komplexen Komponente. Also wenn ihr einen Tipp habt, wäre ich euch trotzdem sehr verbunden...
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen...
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> Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
>
> [mm]\vec{a}_k=(e^{\bruch{1}{2}ik\pi},\bruch{k^{-k}-1}{arctan(k)-\bruch{\pi}{2}})[/mm]
>
> Es geht darum auf konvergenz zu untersuchen und
> gegebenenfalls den Grenzwert zu bestimmen.
>
> Zur ersten Komponente:
> Wäre es richtig, wenn ich statt [mm]e^{\bruch{1}{2}ik\pi}[/mm]
> einfach [mm]cos(\bruch{1}{2}k\pi)+isin(\bruch{1}{2}k\pi)[/mm]
> schreibe? Aber wie kann ich das weiter ausformulieren? Mich
> verwirrt leider ein wenig, dass es sich um eine Komplexe
> Zahl handelt.
Tja, ich finds auch etwas merkwürdig und kann nur sagen:
$ [mm] (e^{\bruch{1}{2}ik\pi})=( [/mm] i,-1,-i,1, i,-1,-i,1,.....)$
>
> Zur zweiten Komponente:
> Es gilt für
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}arctan(k)-\bruch{\pi}{2}=0[/mm]
> Es gilt für [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}k^{-k}-1=-1[/mm]
>
> Somit wäre die zweite Komponente nicht konvergent und
> somit wäre die Folge ebenfalls nicht konvergent und der
> Beweis wäre ja eigentlich ohnehin abgeschlossen oder???
Ja
FRED
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> Trotzdem wurmt mich das irgendwie mit der Komplexen
> Komponente. Also wenn ihr einen Tipp habt, wäre ich euch
> trotzdem sehr verbunden...
>
> mfg thadod
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