Konvergenz einer Folge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm]I=[a,b],a
Man Zeige:
a) Jede Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]I[/mm], die der Bedingung [mm]x_n_+_1\ge f(x_n)[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm] genügt, ist konvergent.
b) der Grenzwert [mm]x_0=\lim_{n \to \infty}x_n[/mm] ist Fixpunkt von [mm]f[/mm], das heißt [mm]f(x_0)=x_0[/mm] |
Hallo!
Ich habe eine kleine Frage zu dieser Aufgabe. Teil a) hatte ich mir so überlegt, daß aus der Bedingung ja folgt, daß die Folge monoton wachsend ist. Außerdem nimmt die Funktion ihr Maximum an (stetig und abgeschlossenes Intervall), damit ist die Folge durch dieses Maximum beschränkt und somit insgesamt konvergent, da wir uns in einem vollständigen Körper bewegen.
Es ist mir aber überhaupt nicht klar, wieso der Grenzwert ein Fixpunkt ist. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielen Dank!
LG couldbeworse
|
|
| |
|
Ok, ich glaube ich hatte das berühmte Brett vorm Kopf...laut Bedingungen gilt ja [mm]x_n_+_1\ge f(x_n) \ge x_n[/mm]. Da f stetig ist bekomme ich für den Grenzübergang [mm]\lim_{n \to \infty}x_n_+_1 \ge \lim_{n \to \infty}f(x_n) \ge \lim_{n \to \infty}x_n[/mm], also [mm]x_0\ge f(x_0)\ge x_0[/mm] und somit [mm]f(x_0)=x_0[/mm]. Stimmt das so?
LG couldbeworse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 19.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, ich glaube ich hatte das berühmte Brett vorm
> Kopf...laut Bedingungen gilt ja [mm]x_n_+_1\ge f(x_n) \ge x_n[/mm].
> Da f stetig ist bekomme ich für den Grenzübergang [mm]\lim_{n \to \infty}x_n_+_1 \ge \lim_{n \to \infty}f(x_n) \ge \lim_{n \to \infty}x_n[/mm],
> also [mm]x_0\ge f(x_0)\ge x_0[/mm] und somit [mm]f(x_0)=x_0[/mm]. Stimmt das
> so?
ja. Bei Dir ist [mm] $x_0=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] und damit folgt aus
[mm] $$x_{n+1} \ge f(x_n) \ge x_n$$
[/mm]
somit
[mm] $$x_0=\lim_{n \to \infty}x_{n+1} \ge f(x_0)=\green{f(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)} \ge x_0=\lim_{n \to \infty}x_n\,.$$
[/mm]
Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] wird im grünmarkierten Teil benutzt. Ein wenig wichtig ist es noch, zu bemerken, dass der Grenzwert [mm] $x_0$ [/mm] der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] wegen der Abgeschlossenheit von [mm] $I\,$ [/mm] auch [mm] $x_0 \in [/mm] I$ erfüllt. Andererseits wäre [mm] $f(x_0)$ [/mm] ja so vielleicht erstmal (noch) nicht definiert. (Wäre [mm] $x_0 \notin I\,,$ [/mm] so hätte man vielleicht noch den Umstand, [mm] $f(x_0)$ [/mm] "möglichst sinnvoll zu definieren" (was immer das auch bedeuten kann/könnte) und [mm] $f\,$ [/mm] auf $I [mm] \cup\{x_0\}$ [/mm] zu erweitern.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
ganz herzlichen Dank für die ausführliche Antwort!
LG couldbeworse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Di 19.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]I=[a,b],a
> sei stetig und für alle [mm]x\in I[/mm] gelte [mm]f(x)\ge x[/mm].
> Man
> Zeige:
>
> a) Jede Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]I[/mm], die der Bedingung [mm]x_n_+_1\ge f(x_n)[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN[/mm] genügt, ist konvergent.
>
> b) der Grenzwert [mm]x_0=\lim_{n \to \infty}x_n[/mm] ist Fixpunkt
> von [mm]f[/mm], das heißt [mm]f(x_0)=x_0[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe eine kleine Frage zu dieser Aufgabe. Teil a) hatte
> ich mir so überlegt, daß aus der Bedingung ja folgt, daß
> die Folge monoton wachsend ist.
in der Tat:
Für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] gilt
[mm] $$x_{n+1} \ge f(x_n) \ge x_n\,,$$
[/mm]
weil die erste Beziehung nach der Voraussetzung an die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gilt und die zweite wegen der Voraussetzung an [mm] $f\,.$
[/mm]
> Außerdem nimmt die
> Funktion ihr Maximum an (stetig und abgeschlossenes
> Intervall), damit ist die Folge durch dieses Maximum
> beschränkt und somit insgesamt konvergent, da wir uns in
> einem vollständigen Körper bewegen.
Genauso sieht es aus. Formal: [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist monoton wachsend und durch
[mm] $$M:=\text{sup}\{f(i): i \in I\}=\text{max}\{f(i); i \in I\} [/mm] < [mm] \infty$$
[/mm]
nach oben beschränkt. Nach dem Hauptsatz über monotone Folgen daher konvergent. (Dass das Supremum ein Maximum ist, ergibt sich, wie Du gesagt hast, aus der allgemeineren Tatsache, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Maximum annehmen. Bei Dir ist [mm] $I\,$ [/mm] beschränkt und abgeschlossen, also kompakt, und [mm] $f\,: [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] ja stetig, so dass $M [mm] \in \IR\,.$)
[/mm]
> Es ist mir aber überhaupt nicht klar, wieso der Grenzwert
> ein Fixpunkt ist. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das
> jemand erklären könnte.
Setze [mm] $x_\infty:=\lim_{n \to \infty} x_n\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$f(x_\infty)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)$$
[/mm]
per Definitionem und unter Beachtung von [mm] $x_\infty \in [/mm] I$ (beachte: [mm] $(x_n)_n$ [/mm] war ja Folge in [mm] $I\,\,,$ [/mm] die wir oben als konvergent erkannt haben und [mm] $I\,$ [/mm] ist insbesondere abgeschlossen).
Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] sagt nun, dass Du "den Limes rausziehen darfst":
[mm] $$\ldots=\lim_{n \to \infty}f(x_n)\,.$$
[/mm]
Und naja: Oben hattest Du doch schonmal gesehen:
[mm] $$x_{n+1} \ge f(x_n) \ge x_n\,.$$
[/mm]
Läßt Du dabei mal $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen und benutzt das Einschließkriterium unter Beachtung von [mm] $x_{n+1} \to x_\infty$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$) [/mm] (jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert in einem metrischen Raum gegen den gleichen Grenzwert wie die konvergente Ausgangsfolge), so siehst Du schlussendlich
[mm] $$x_\infty \ge \lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x_\infty) \ge x_\infty\,.$$
[/mm]
Also [mm] $f(x_\infty)=x_\infty$ [/mm] (mit einem [mm] $x_\infty \in [/mm] I$).
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Zur Beschränktheit:
Es ist doch I=[a,b] und $ [mm] (x_n) [/mm] $ eine Folge in I. Dann gilt:
$a [mm] \le x_n \le [/mm] b$ für alle n.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zur Beschränktheit:
>
> Es ist doch I=[a,b] und [mm](x_n)[/mm] eine Folge in I. Dann gilt:
>
> [mm]a \le x_n \le b[/mm] für alle n.
natürlich. Da habe ich mal wieder mit Kanonen auf Spatzen geschossen (die armen Tiere^^).
Die Ergebnisse bleiben aber zum Glück trotzdem korrekt. Und wenn ich das richtig sehe, brauchen wir auch nur die "nach oben hin Abgeschlossenheit" des Intervalls (falls die Folge gegen [mm] $b\,$ [/mm] konvergiert, sollte [mm] $b\,$ [/mm] natürlich auch im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] liegen). Denn mit [mm] $I=(a,b]\,$ [/mm] geht alles genauso, in meiner Argumentation würde ich dann aber sagen, dass [mm] $f\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $[x_1,b]\,$ [/mm] beschränkt ist. Solche "Kniffe" braucht man da aber nicht, wenn man deinen Hinweis bedenkt, denn wenn alle [mm] $x_n \in [/mm] (a,b]$ liegen, dann gilt natürlich
$$a < [mm] x_n \le [/mm] b$$
für alle [mm] $n\,$ [/mm] und die Beschränktheit ist sofort offensichtlich.
Naja, während Du den Nagel elgant mit einem kleinen Hämmerchen in die Wand klopfst, komm' ich direkt mit einem Vorschlaghammer ^^
Zum Glück führt dennoch beides zum richtigen Ergebnis 
Grüße,
Marcel
|
|
|
|
