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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Reihe
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Konvergenz einer Reihe: Tipp zur Minorante
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 10.12.2014
Autor: Fredward

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

[mm] \summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} ln(\bruch{v+1}{v}) [/mm]

Guten Abend liebe Forengemeinde,

im Rahmen meiner Hausübung zum Modul Analysis 1 hat sich die genannte Aufgabe zu einer echten Knobelei entwickelt.

Absolute Konvergenz schließe ich aus da, betraglich betrachtet, der Ausdruck [mm] ln(\bruch{v+1}{v}) [/mm] sich ähnlich zur harmonischen Reihe entwickelt. Daher habe ich die Idee mittels Minoratenkriterium zu zeigen, dass die Reihe absolut divergiert. Allerdings finde ich keine Abschätzung zur harmonischen Reihe.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir einen Tipp geben würdet, wie ich eine Abschätzung vornehme.

Vielen Dank und viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Alternative: Teleskopsumme
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mi 10.12.2014
Autor: Loddar

Hallo Fredward,

[willkommenmr] !!


Muss es denn über das Minorantenkriterium sein?
Ich hätte hier den Vorschlag, mittels Teleskopsumme vorzugehen:

[mm] $\summe_{v=1}^{n}\ln\left(\bruch{v+1}{v}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{v=1}^{n}\left[ \ \ln(v+1)-\ln(v) \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\ln(2)-\ln(1)}+\underbrace{\ln(3)-\ln(2)}+\underbrace{\ln(4)-\ln(3)}+...+\underbrace{\ln(n)-\ln(n-1)}+\underbrace{\ln(n+1)-\ln(n)}$ [/mm]

Was verbleibt dann nur noch als Term, den man dann sehr gut abschätzen kann?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Mi 10.12.2014
Autor: Fredward

Hallo Loddar,

vielen Dank für deine Antwort.

Folgt aus der Teleskopsumme nun, dass ich diese mit ln(v) abschätzen kann, und dann den [mm] \limes_{v\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] erhalte?

Viele Grüße
Fredward

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: sauber aufschreiben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Mi 10.12.2014
Autor: Loddar

Hallo Fredward!


> Folgt aus der Teleskopsumme nun, dass ich diese mit ln(v)
> abschätzen kann, und dann den [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\infty[/mm] erhalte?

Du scheinst das Richtige zu meinen, schreibst es aber furchtbar auf.

Zunächst ergibt sich aus der Teleskopsumme:   [mm] $\summe_{v=1}^{\red{n}}\ln\left(\bruch{v+1}{v}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \ln(\red{n+1})$ [/mm]


Und dann gilt:   [mm] $\summe_{v=1}^{\infty}a_v [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{v=1}^{n}a_v [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\ln(n+1) [/mm] \ = \ [mm] \infty$ [/mm]



Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Mi 10.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Fredward!
>  
>
> > Folgt aus der Teleskopsumme nun, dass ich diese mit ln(v)
>  > abschätzen kann, und dann den

> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\infty[/mm] erhalte?
>  
> Du scheinst das Richtige zu meinen, schreibst es aber
> furchtbar auf.
>  
> Zunächst ergibt sich aus der Teleskopsumme:  
> [mm]\summe_{v=1}^{\red{n}}\ln\left(\bruch{v+1}{v}\right) \ = \ ... \ = \ \ln(\red{n+1})[/mm]

nur zur Ergänzung: eigentlich würde da

    [mm] $...=\ln(n+1)-\ln(1)$ [/mm]

stehen - glücklicherweise ist [mm] $\ln(1)=0\,.$ [/mm] Aber auch jeder andere Wert wäre
wenig tragisch!

Übrigens stimmt dann in der Tat

    [mm] $\sum [/mm] ... [mm] \ge \ln(n)\,.$ [/mm] ;-)

> Und dann gilt:   [mm]\summe_{v=1}^{\infty}a_v \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{v=1}^{n}a_v \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\ln(n+1) \ = \ \infty[/mm]

Nur mal als Hinweis:

    MBTeleskopreihe

(Da steht das, was Loddar gemacht hat, nochmal in allgemeiner Form!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Mi 10.12.2014
Autor: Fredward

Hallo Loddar,

ehrlich gesagt hätte ich vermutlich noch den restlichen Tag damit verbracht, eine Abschätzung zu finden, um es mittels Minoratenkriterium zu zeigen.

Allerdings ist dein Lösungsvorschlag sehr elegant.

vielen Dank für deine Mühe!

Gruß
Fredward

Bezug
        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Mi 10.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Fredward,

Loddar zeigt ja, wie sich die Reihe mit den Betragssummanden verhält.
Zur Kgz.:

> [mm]\summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} ln(\bruch{v+1}{v})[/mm]

[mm] $\ln(\cdot)$ [/mm] ist (streng) wachsend etwa auf [mm] $[1,\infty),$ [/mm] und weil die Folge [mm] $(1+\tfrac{1}{m})_m$ [/mm] (streng) gegen
[mm] $1\,$ [/mm] fällt, ist die Folge

    [mm] $(\ln(1+\tfrac{1}{n}))_n$ [/mm]

(streng) fallend gegen [mm] $\ln(1)=0$ [/mm] (Stetigkeit von [mm] $\ln$ [/mm] an der Stelle 1).

Jetzt: Leibni(t)z! (Guten Hunger!)

Gruß,
  Marcel

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