Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe mehrere aufgaben bei denen ein bestimmter Grenzewert einer Reihe bestimmt werden soll. bisher haben wir immer nur gezeigt ob eine reihe überhaupt konvergiert oder nicht.
Die erste Aufgabe ist: Man zeige:
[mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm][mm]\bruch{1}{(2n+1)^2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}\gamma[/mm] mit [mm]\gamma = \bruch{\pi^2}{8}[/mm]
wie gehe ic an sowas überhaupt heran?
mfg und vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Ohne spezielle Kenntnisse z.B. aus der Reihenlehre, der Integralrechnung oder über Eigenschaften spezieller Funktionen ist diese Aufgabe nicht zu lösen. Vielleicht habt ihr so etwas wie
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}[/mm]
in der Vorlesung bereits gezeigt. Dann kann man das verwenden, um den gesuchten Reihenwert mit ein paar Rechentricks zu ermitteln. Manchmal erhält man solche Reihenwerte auch durch Spezialisierung in Reihendarstellungen geeigneter Funktionen oder Spezialisierungen in gewissen Funktionalgleichungen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Do 07.12.2006 | | Autor: | martin1985 |
ja das wurde uns in der vorlesung gezeigt, habe jetzt so eoiniges probiert, das irgendwie umzuformen, bin aber auf nichts sinnvolles gekommen bis jetzt.. kannst du mir evtl noche inen tip geben?
mfg martin
|
|
|
| |
|
[mm]q = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots[/mm]
Das ist die Summe über alle Stammbrüche mit einer Quadratzahl im Nenner.
[mm]g = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \ldots[/mm]
Das ist die Summe über alle Stammbrüche mit einer geraden Quadratzahl im Nenner.
[mm]u = \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots[/mm]
Das ist die Summe über alle Stammbrüche mit einer ungeraden Quadratzahl im Nenner.
Und offensichtlich gilt
[mm]u + g = q[/mm]
Aber es gilt ebenso
[mm]g = \frac{1}{4} \, q[/mm]
Warum?
Und aus diesen beiden Gleichungen läßt sich [mm]u[/mm] berechnen, da ja der Reihenwert [mm]q[/mm] bekannt ist.
|
|
|
|
