Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 27.07.2007 | | Autor: | arena |
N´abend zusammen.
Ich verzweifle gerade an folgender Aufgabe und hoffe einer von euch kann mir sagen wie ich die am besten lösen kann:
[mm] \bruch {ln(n)}{n} [/mm]
Dankeschön!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo arena!
Meinst Du hier diese Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch {\ln(n)}{n}$ [/mm] ?
Bedenke, dass gilt: [mm] $\ln(n) [/mm] \ > \ 1$ für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Fr 27.07.2007 | | Autor: | arena |
Ja, genau die mein ich 
Kann mit deinem Tipp aber leider nix anfangen. Soll mir das helfen, damit ich ne niedrigere Reihe fürs Minorantenkriterium finde?
Gibts da vielleicht auch ne Möglichkeit das Quotienten- oder das Wurzelkriterium zu nutzen? Die liegen mir wesentlich mehr...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo arena!
Mit dem Quotienten- oder Wurzelkriterium sehe ich hier wenig (bis gar keine) Möglichkeiten.
Mit meinem Tipp gilt doch für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ : [mm] $\bruch{\ln(n)}{n} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] .
Und was gilt für die harmonische Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{n}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Fr 27.07.2007 | | Autor: | arena |
[mm] \bruch {1}{n} [/mm] konvergiert doch gegen 0, richtig?
Also gilt laut Minorantenkriterium, dass die Reihe für n >= 3 konvergent ist??
Und was ist mit n < 3? Und vor allem, wie komm ich denn auf sowas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo arena!
> [mm]\bruch {1}{n}[/mm] konvergiert doch gegen 0, richtig?
Das stimmt so. Aber ...
a.) gilt das auch für [mm] $\bruch{\ln(n)}{n}$ [/mm] und
b.) ist es für die Konvergenz der Reihe [mm] $\summe a_n$ [/mm] ein notwendiges Kriterium, dass gilt: [mm] $a_n \text{ ist Nullfolge}$ [/mm] .
> Also gilt laut Minorantenkriterium, dass die Reihe für n >= 3 konvergent ist??
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da bekannt sein sollte, dass die harmonische Reihe [mm] $\summe \bruch{1}{n}$ [/mm] divergent ist (d.h. diese Reihe wächst über alle Grenzen), und nahezu alle Summenden unserer betrachteten Reihe größer sind als die Summanden der harmonischen Reihe, folgt daraus auch die Divergenz von [mm] $\summe\bruch{\ln(n)}{n}$ [/mm] .
> Und was ist mit n < 3?
Dabei handelt es sich doch um lediglich eine beschränkte Anzahl an Summanden (hier halt 3), die auf das Ergebnis "Konvergenz" oder "Divergenz" keine Auswirkung haben.
> Und vor allem, wie komm ich denn auf sowas?
Das ist Übung und auch etwas "Auge" gegen bekannte Reihen abzuschätzen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Fr 27.07.2007 | | Autor: | arena |
Ach ja, bin völlig durcheinander und hab Folgen und Reihen verwechselt.
Jetzt hab aber sogar ichs verstanden
Schönen Abend noch und Danke
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