Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(4\*k^{2}-1)} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe ein Problem mit der Grenzwertbestimmung von Aufgaben im obigen Stil.
Wie muss man bei der Grenzwertbestimmung vorgehen? Ich habe an diesem Beispiel die Klammer unten schon zerlegt in (2*k-1)*(2*k+1) und dann das Quotientenkriterium angewandt, leider kommt dabei 1 heraus womit es nicht anwendbar ist. Wurzelkriterium wüsste ich gar nicht, wie es anzuwenden wäre.
Welche Möglichkeiten gibt es sonst noch?
Gruß
Interceptor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Do 30.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(4\*k^{2}-1)}[/mm]
> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> ich habe ein Problem mit der Grenzwertbestimmung von
> Aufgaben im obigen Stil.
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> Wie muss man bei der Grenzwertbestimmung vorgehen? Ich habe
> an diesem Beispiel die Klammer unten schon zerlegt in
> (2*k-1)*(2*k+1) und dann das Quotientenkriterium angewandt,
> leider kommt dabei 1 heraus womit es nicht anwendbar ist.
> Wurzelkriterium wüsste ich gar nicht, wie es anzuwenden
> wäre.
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> Welche Möglichkeiten gibt es sonst noch?
Es gilt: [mm] \bruch{1}{4k^2-1} \le \bruch{1}{k^2} [/mm] für jedes k [mm] \in \IN.
[/mm]
Jetzt Majorantenkriterium
FRED
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> Gruß
>
> Interceptor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(4\*k^{2}-1)}[/mm]
Achtung: Laufindex dann bitte auch einheitlich [mm] $\blue{k}$ [/mm] nennen. Unter dem Summenzeichen hast Du ein [mm] $\black{i}\$ [/mm] stehen.
> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> ich habe ein Problem mit der Grenzwertbestimmung von
> Aufgaben im obigen Stil.
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> Wie muss man bei der Grenzwertbestimmung vorgehen? Ich habe
> an diesem Beispiel die Klammer unten schon zerlegt in
> (2*k-1)*(2*k+1) und dann das Quotientenkriterium angewandt,
> leider kommt dabei 1 heraus womit es nicht anwendbar ist.
> Wurzelkriterium wüsste ich gar nicht, wie es anzuwenden
> wäre.
>
> Welche Möglichkeiten gibt es sonst noch?
neben Fred's Möglichkeit ist Deine gar nicht so schlecht, Du musst sie nur zu Ende denken (Stichwort: Zieharmonikasumme):
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(4\*k^{2}-1)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \left(\underbrace{\frac{1}{2k-1}}_{=:a_k}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty (a_k-a_{k+1})\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k-a_{k+1})=\lim_{M \to \infty} \sum_{k=1}^M (a_k-a_{k+1})=\lim_{M \to \infty} \left\{\left(\sum_{k=1}^M a_k\right)-\underbrace{\sum_{k=1}^M a_{k+1}}_{=\sum_{m=2}^{M+1} a_{m}}\right\}=\lim_{M \to \infty} (a_1-a_{M+1})$ [/mm] solltest Du nun weiterkommen (beachte, dass die Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] hier konvergiert).
Vorteil von Freds Methode: Die Frage der Konvergenz ist sehr schnell geklärt.
Nachteil: Der Grenzwert wird nicht angegeben (was in der Aufgabe aber auch nicht verlangt war oder war es doch verlangt? Du sprichst ja von Grenzwertbestimmung).
Vorteil dieser Methode: Sowohl die Konvergenz als auch der Grenzwert der gefragten Reihe sind ersichtlich.
Nachteil: Im Vergleich zu Freds Argumentation eine (etwas) längere Rechnung.
P.S.:
Weitere Alternative:
Man zeige zunächst per Induktion:
[mm] $$\sum_{k=1}^M \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2M+1}\,.$$
[/mm]
( Wobei dies dann eher vom Himmel zu fallen scheint. Wie man konstruktiv zu dieser Behauptung kommt, dazu gucke halt mal in die obige Rechnung mit der Ziehharmonikasumme  . )
Gruß,
Marcel
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Hallo,
danke für eure Antworten.
Ich möchte den Grenzwert ausrechnen. Dass die Reihe konvergiert, sieht man ja, wie Fred angesprochen hat, per Majorantenkriterium.
@Marcel:
mir ist bei der Rechnung eigentlich alles klar (ich bekomme auch 1/2 raus, was laut Matheprogramm auch rauskommen müsste), bis auf zwei Dinge:
- könntest du diesen Schritt näher erläutern? Wie komme ich von der großen, geschweiften Klammer auf das, was rechts vom Gleichzeichen in der normalen Klammer steht?
[mm] \lim_{M \to \infty} \left\{\left(\sum_{k=1}^M a_k\right)-\underbrace{\sum_{k=1}^M a_{k+1}}_{=\sum_{m=2}^{M+1} a_{m}}\right\}=\lim_{M \to \infty} (a_1-a_{M+1}) [/mm] $
- wie komme ich von
[mm] \bruch{1}{(2k-1)(2k+1)} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k+1}) [/mm] ?
Kommt mir ein bisschen vor wie Partialbruchzerlegung...
Ansonsten Danke für die Antworten. Soweit wäre das Problem eigentlich gelöst ... kann man den Beitrag irgendwie als gelöst markieren?
Gruß
Interceptor
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Hallo Interceptor,
> Hallo,
>
> danke für eure Antworten.
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> Ich möchte den Grenzwert ausrechnen. Dass die Reihe
> konvergiert, sieht man ja, wie Fred angesprochen hat, per
> Majorantenkriterium.
>
> @Marcel:
>
> mir ist bei der Rechnung eigentlich alles klar (ich bekomme
> auch 1/2 raus, was laut Matheprogramm auch rauskommen
> müsste), bis auf zwei Dinge:
>
> - könntest du diesen Schritt näher erläutern? Wie komme ich
> von der großen, geschweiften Klammer auf das, was rechts
> vom Gleichzeichen in der normalen Klammer steht?
>
> [mm] $\lim_{M \to \infty} \left\{\left(\sum_{k=1}^M a_k\right)-\underbrace{\sum_{k=1}^M a_{k+1}}_{=\sum_{m=2}^{M+1} a_{m}}\right\}=\lim_{M \to \infty} (a_1-a_{M+1})$
[/mm]
Schreibe dir doch die beiden Summen mal ein bisschen aus, dann siehst du sofort, dass sich bis auf [mm] $a_1$ [/mm] aus der ersten Summe und [mm] $a_{M+1}$ [/mm] aus der zweiten Summe alle anderen Summanden zu Null wegheben.
Jeder Summand von [mm] $a_2,....,a_M$ [/mm] taucht in beiden Summen auf und wird durch das "-" zu Null
>
> - wie komme ich von
>
> [mm]\bruch{1}{(2k-1)(2k+1)}[/mm] auf
> [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k+1})[/mm] ?
> Kommt mir ein bisschen vor wie Partialbruchzerlegung...
ganz genau, wenn du's nachrechnen magst, der Ansatz ist: [mm] $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1}$
[/mm]
>
> Ansonsten Danke für die Antworten. Soweit wäre das Problem
> eigentlich gelöst ... kann man den Beitrag irgendwie als
> gelöst markieren?
Jo, das geht, ich stell's mal um
>
> Gruß
>
> Interceptor
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> - wie komme ich von
>
> [mm]\bruch{1}{(2k-1)(2k+1)}[/mm] auf
> [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k+1})[/mm] ?
> Kommt mir ein bisschen vor wie Partialbruchzerlegung...
Partialbruchzerlegung ist für mich immer der Ansatz, wenn die Überlegung wie folgt (bzw. in einer Analogie) scheitert (es ist aber gut, die Partialbruchzerlegung im Hinterkopf zu haben, da sie ja durchaus bei komplizierteren Aufgaben benutzt werden sollte). Wenn ich hier sehe, dass [mm] $\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ [/mm] ist, dann teste ich erstmal eine einfach Rechnung. Ich prüfe, was rauskommt, wenn man [mm] $\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}$ [/mm] ausrechnet:
[mm] $$\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}=\frac{2k+1}{(2k-1)(2k+1)}-\frac{2k-1}{(2k+1)(2k-1)}=\frac{\blue{2}}{4k^2-1}$$
[/mm]
Das liefert dann das, was ich oben behauptet habe (Äquivalenzumformung: beide Seiten mit $1/2$ multiplizieren).
P.S.:
Zu der Summe schreibe ich gerade noch das, was Schachuzipus in Worten gesagt hat:
Für festes $M [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $\sum_{k=1}^M (a_k-a_{k+1})$ [/mm] eine endliche Summe. Dann gilt mit $m:=k+1$ unter Beachtung der Körperaxiome:
[mm] $$\sum_{k=1}^M (a_k-a_{k+1})=\left(\sum_{k=1}^M a_k\right)-\sum_{k=1}^M a_{k+1}=\left(\sum_{k=1}^M a_k\right)-\sum_{m=2}^{M+1} a_{m}=\left(a_1+\sum_{k=2}^M a_k\right)-\left\{\left(\sum_{m=2}^Ma_m\right)+a_{M+1}\right\}$$
[/mm]
[mm] $$=a_1-a_{M+1}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
nochmals danke für die Anworten, meine beiden letzten Fragen haben sich soeben beantwortet.
Gruß und Danke
Interceptor
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