Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})} [/mm] |
Hi,
hab ein paar Probleme mit der Aufgabe. Ich habs mit dem Quotientenkriterium probiert, allerdings kommt da ein Term raus, der etwas seeehr groß ist. Also habe ich in Richtung Majorante / Minorante gedacht.
Allerdings verstehe ich das Prinzip des Major / Minorantenkriterium nicht so ganz. Mir ist klar, dass ich eine Majorante eine Reihe ist, die aehnlich der urspruenglichen ist, aber immer groeße als diese ist. Minor ist dementsprechend genau das andere, allerdings suche ich im moment nach eine Regel, wie ich solch eine Reihe aus einer Ursprungsreihe aufbauen kann.
Kann mir da jemand bei helfen?
Vielen herzlichen Dank im voraus!
MFG Tim
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 04.02.2009 | | Autor: | iks |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo evilmaker!
Ich würde versuchen eine Majorante zu finden. Betrachten wir dazu die Folge $(a_n)$ gegeben durch
$a_n=\bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}$
Für $n\in\IN$ $n>2$ ist $1<n^2+2n<2n^2$ also auch $\wurzel[3]{n^2+2n}<\wurzel[3]{2n^2}$
und somit für $n>2$:
$a_n<\bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{2n^{2}}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}$
jetzt Potenzgesetze anwenden und danach die höchste Potenz in Nenner ausklammern und kürzen. Dann ist (wieder für $n>2$):
$a_n<\bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{2n^{2}}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}=3*\wurzel[3]{2}*\frac{1}{2n^{\frac{7}{6}}+3n^{\frac{1}{6}}}<\frac{3*\wurzel[3]{2}}{2}*\frac{1}{n^{\frac{7}{6}}$
Also ist:
$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}=\summe_{n=1}^{2} \bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}+\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}<\summe_{n=1}^{2} \bruch{3n^{2} * \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} * (2n^{3} + 3n^{2})}+\summe_{n=3}^{\infty}\frac{3*\wurzel[3]{2}}{2}*\frac{1}{n^{\frac{7}{6}}$
So ich hoffe es ist alles richtig soweit.
Konvergiert deine Reihe jetzt??
mFg iks
|
|
|
| |
|
Vielen Dank erstmal fuer deine Muehe.
Mit dem Mino / Majoranten Kriterium habe ich so meine Probleme. Du hast den Zaehler jetzt vergroeßert, damit es sich bei der Reihe um eine Majorante handelt - klar, aber nach welchen Gesetzmaeßigkeiten mach ich das denn?
Ich kann doch nicht einfach annehmen, dass diese Reihe (nur weil sie groeßer ist) sich genauso verhaelt wie die Urspruengliche, oder?
Sonst koennte ich auch [mm] n^{2000} [/mm] als Majorante waehlen, da diese Reihe ebenfalls groeßer ist als die Ursprungsreihe.
Koenntest du mir den logischen Zusammenhang zwischen beiden nochmal erklaeren und warum beide in einer Konvergenz Beziehung zusammenhaengen?
Waere sehr nett von dir - ich habe da so meine Verstaendnisprobleme.
Vielen herzlichen Dank im voraus!
MFG Tim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Fr 06.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ne Reihe findest, wo jeder einzelne Summand, ab irgendeinem k groesser ist, als die vorliegende Reihe UND WENN die groessere Reihe konvergiert gegen einen endlichen Wert, dann konvergiert die kleinere erst recht.
(falls die groessere Reihe (die Majorante ) divergiert, weisst du gar nix,
Minorante: Wenn du ne Reihe findest die kleiner ist und schon divergiert, muss natuerlich die groessere auch divergieren.
Folgerung. Vermutest du dass deine Reihe Konv. suchst du ne groessere von der du das weisst.
Vermutest du Divergenz, suchst du ne kleinere die divergiert.
Wenn die hoechste Nennerpotenz mehr als 1 groesser als die hoechste Zaehlerpotenz ist findet man immer ne majorante.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Fr 06.02.2009 | | Autor: | tedd |
Ich bin mir nicht sicher ob es hilft aber man kann wenn ich mich nicht verrechnet habe [mm] a_n [/mm] auch sehr vereinfachen...
[mm] \bruch{3n^{2} \cdot{} \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} \cdot{} (2n^{3} + 3n^{2})}
[/mm]
[mm] =\bruch{3 \cdot{} \wurzel[3]{n^{2} + 2n}}{\wurzel[6]{n^{5}} \cdot{} (2n + 3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{3 * \wurzel[3]{n^{2}}*\wurzel[3]{1 + \bruch{2}{n}}}{\wurzel[6]{n^{5}} \cdot{} (2n + 3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{3*\sqrt[3]{1+\bruch{2}{n}}}{\sqrt[3]{n}*(2n+3)}
[/mm]
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
Danke fuer die Antwort! Das war schon eine halbe Erleuchtung fuer mich.
Aber wie du sagtest: Wenn ich eine Reihe finde, die ab einem bestimmten Summanden groeßer ist als die Ursprungsreihe und konvergiert, weiss ich das der Ursprung auch konvergiert.
Da man am haeufigsten mit der harmonischen Reihe mit [mm] \bruch{1}{a^{k}} [/mm] ; k > 1 (Fuer [mm] \le [/mm] divergiert sie ja) arbeitet, muss ich also versuchen immer eine Majorante zu finden, die auf diese Form zurueckgefuehrt werden kann, oder? Ist da meine Ueberlegung richtig?
Viele vielen Dank!!!
|
|
|
| |
|
Hallo Tim,
> Danke fuer die Antwort! Das war schon eine halbe
> Erleuchtung fuer mich.
>
> Aber wie du sagtest: Wenn ich eine Reihe finde, die ab
> einem bestimmten Summanden groeßer ist als die
> Ursprungsreihe und konvergiert, weiss ich das der Ursprung
> auch konvergiert.
Jo, muss ja, wenn die größere Reihe einen endlichen Wert hat, so hat die kleinere sicher auch einen endlichen Wert
>
> Da man am haeufigsten mit der harmonischen Reihe mit
> [mm]\bruch{1}{a^{k}}[/mm] ; k > 1 (Fuer [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
divergiert sie ja)
> arbeitet, muss ich also versuchen immer eine Majorante zu
> finden, die auf diese Form zurueckgefuehrt werden kann,
> oder? Ist da meine Ueberlegung richtig?
Jo, das ist eine der häufigsten Vergleichsreihen, sowohl für Konvergenz als auch für Divergenz.
Beachte aber, dass - wie in deinem anderen post - durchaus ein Vielfaches dieser Reihen eine geeignete Vergleichsreihe sein kann, etwa $2\cdot{}\sum\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}$ wie in dem anderen post
Wenn $\sum a_n$ endlich ist, so auch $K\cdot{}\sum a_n$
So viele andere konvergente oder divergente Vergleichsreihen kennt man ja nicht, in Übungen und Klausuren kommen neben diesen Reihen oben vllt. noch geometrische Reihen als Vgl.reihen vor ...
>
> Viele vielen Dank!!!
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
|
|
|
|
